Neapibrėžtinis integralas.

Mokausi ir nesuprantu, o ryt kontras. Gal kas išspręs:

a) (e^-2x + e^2x)^2 dx

b) e^3x - e^x / e^2x dx

c) x^2 + 2x -1 / kvad. saknis is x

d) (kvadr. saknis is x - 1)^3 / x * kvadr. saknis is x

Busiu be proto dėkinga!!!! :)

a) ∫(e^(-2x) + e^(2x))^2 dx = ∫(e^(-4x) + 2 + e^(4x)) dx = ∫ e^(-4x) dx + ∫ 2 dx + ∫ e^(4x) dx = -1/4 e^(-4x) + 2x + 1/4 e^(4x) + C;

b) ∫(e^(3x) - e^x) / e^(2x) dx = ∫(e^x - e^(-x)) dx = e^x - e^(-x) + C;

c) ∫(x^2 + 2x - 1) / √x  dx = ∫(x^(3/2) + 2x^(1/2) - x^(-1/2)) dx = 2/5 x^(5/2) + 4/3 x^(3/2) + 2/3 x^(-3/2) + C;

d) ∫[ ( (√x) - 1 )^3 / (x * √x) ] dx = ∫ [ (x^(3/2) - 3x + 3x^(1/2) - 1) / x^(3/2) ] dx = ∫[ 1 - 3x^(-1/2) + 3x^(-1) - x^(-3/2) ] dx = x - 6 x^(1/2) + 3 ln x + 2 x^(-1/2) + C.


Reikėjo panaudoti keletą taisyklių:

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) fx, jei k konstanta;
∫ e^(ax) dx = 1/a e^(ax) + C, jei a konstanta;
∫(f(x) + g(x) + ...) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx + ...;
∫ x^a dx = 1/(a+1) x^(a+1) + C, jei a yra konstanta ir a ≠ 1.
∫ x^(-1) dx = ln x + C.

Taip pat reikia atsiminti, jog √x = x^(1/2), 1/x = x^(-1) ir pan.

Kai apskaičiuoji integralą, verta paskaičiuoti jo išvestinę ir patikrinti, ar gauni tą patį reiškinį, kokį iš pradžių integravai.