eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Neišreikštinės funkcijos išvestinės radimas

Sveiki. Vėl ta pati problema. Negaunu atsakymo.

Užduotis:

Rasti duotos neišreikštinės funkcijos išvestinę.

[tex]y=(\cos{x})^y[/tex]

Mano sprendimas: [tex]\ln{y}=\ln((\cos x)^y) \Rightarrow \ln y = y\ln(\cos x)[/tex]
$$\frac{1}{y}\cdot y'=y' \ln(cosx)+y \cdot \frac{-\sin x}{\cos x}$$ $$\frac{1}{y} \cdot y'-y' \ln(\cos x)=-y \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$$ $$y'=\frac{-y\cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{y}-\ln(\cos x)}$$
Duotas atsakymas: [tex]y'=\frac{y\cdot (\cos x)^{y-1}\cdot \sin x}{(\cos x)^y \cdot \ln(\cos x)-1}[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-25

0

Nelogaritmuok iškart reiškinio. Aš skaičiavau taip:
$$y-\left(\cos x\right)^y=0$$Dabar diferencijuojame abi lygybės puses pagal [tex]x[/tex]:$$y'_x-\left(\left(\cos x\right)^y\right)'_x=0$$ Pažymime: $$z=z(x)=\left(\cos x\right)^y$$ Dabar logaritmuojame abi lygybės puses: $$\ln z=y\cdot \ln(\cos x)$$ Ir vėl diferencijuojame: $$\dfrac{z'_x}{z}=y'_x\cdot \ln(\cos x)+y\cdot \dfrac{-\sin x}{\cos x}\implies z'_x=z\left(y'_x\cdot \ln(\cos x)-\dfrac{y\sin x}{\cos x}\right)=\\(\cos x)^y\left(y'_x\cdot \ln(\cos x)-\dfrac{y\sin x}{\cos x}\right)$$
Galiausiai gauname:
$$y'_x-\left(\left(\cos x\right)^y\right)'_x=0\implies y'_x-(\cos x)^y\left(y'_x\cdot \ln(\cos x)-\dfrac{y\sin x}{\cos x}\right)=0\implies \\y'_x-((\cos x)^y\ln(\cos x))y'_x+y\sin x(\cos x)^{y-1}=0\implies \\((\cos x)^y\ln(\cos x)-1)y'_x=y\sin x(\cos x)^{y-1}\implies \\y'=\dfrac{y\sin x(\cos x)^{y-1}}{(\cos x)^y\ln(\cos x)-1}$$

0

Ačiū. Norėjau dar paklausti ar yra kitas sprendimo būdas?

0

Nežinau, ką turi omeny. Čia įprastas neišreikštinės funkcijos išvestinės skaičiavimas, kuris buvo kiek pasunkintas dėl logaritmavimo reikalingumo.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-25

0

Šiaurė gavo TĄ PATĮ ATSAKYMĄ.
Jis lengvai pertvarkomas į tą, kuris buvo duotas. Reikia tik vietoj 1/y įrašyti (cosx)^(-y), nes tokia lygtimi nusakyta funkcija, po to skaitiklį ir vardiklį padaugint iš (cosx)^y.

1

Taip, gaunasi tas pats.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-25

0

Tomai, pagal uždavinio sąlygą [tex]\frac{1}{y}=\left ( cosx \right )^{-y}[/tex]
Įrašyk tai Šiaurės atsakymo vardiklyje, ir gausi,

0

Aš supratau (prieš buvusį komentarą pakoregavau), iš pradžių, kai tikrinau, nesigavo. Čia vat ir yra trūkumas atsakymų, jog tą patį galima užrašyti keliais pavidalais. Galvojau, jog sprendime kažkur klaida, nors pats niekaip jos neradau, dabar viskas paaiškėjo.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-25

0

Nesuprantu atrodo, kad ir nepraleidau nė vienos paskaitos, bet taip mus nemokino spręsti.
Kaip suprasti[tex]\frac{z'_x}{z}[/tex] (plačiau paaiškinkit)

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-25

0

$$\dfrac{z'_x}{z}=\dfrac{1}{z}\cdot z'_x.$$ Gal aiškiau?
Lygiai taip pat kaip: [tex](\ln y)'_x=\dfrac{1}{y}\cdot y'_x[/tex]
Indeksas tik parodo pagal kokį kintamąjį yra diferencijuojama.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!