Nelygybės. Progresija.

Dar kartelį užklydau . Rasti geometrinės progresijos b11, kai S10-S9=15 q=2 išsprendžiau lengvai.
Tačiau užstrigau su tokiu: S11-S10 = 5 , raskite b12. Ir įstatinėti vietoj Sn, jų formules mėginau, ir taip ir anaip, neišsisprendė, prašau padėkit.

Ir dar vienas, su nelygybėm. Norėčiau paaišintumėt kodėl taip o ne kitaip:
Pvz. užduoties variantas (x-2)² - 2x > (3-x)² - 9, viskas tvarkoj ir išsprendus gaunu
4>0, t.y x E R.  Toks atsakymas ir knygoje.
O tos pačios užduoties variante d. (2-x)² - 2x < (x-3)² + 1
Gaunu 0<6, ir šeip bent pagal mane tai vėl x E R, tačiau knygoje atsakymas 'tuščia aibė' :/

Ir dar, negaliu suprasti kaip intervalus dalinti į - ir +, būna kartais  - - +, bet nesuprantu kaip konkrečiai suskirstyti, pagal ką. Galėtumėt kokį pavyzdį duoti?
(šiame pvz (x+2)² <= 0
                    x - 5        )

Ir dar ir dar:
Pvz nelygybė 2x-3 > 0
                    x - 5

Tai aš bent taip masčiau spręsdamas, 2x - 3 > 0;  2x > 3; x > 3/2.
Tada, x - 5 > 0, x > 5, tai skaičių tiesėj atsižymėjęs, gaunu (5;+∞). Bet atsakymas x<3/2, ir x > 5.
Ko aš nenumačiau spręsdamas, ir kodėl pvz atsakymas ne intervaluose, ar galima tiesiog taip ir rašyti x > 5 ir x < 3/2 , o ne (-∞; 3/2) sąjunga (5;+∞)

Nenoriu spręsti geometrinės progresijos, bet galiu apie nelygybes parašyt.

Dėl (2-x)² - 2x < (x-3)² + 1 esi teisus: x bet koks realus. Kad knygos atsakymas neteisingas, galima patikrinti įstačius, pvz, x = 2. Gauname -4 < 2, taigi x = 2 tinka, taigi atsakymas negali būti tuščia aibė.

Jei gerai supratau klausimą apie intervalus, tai ženklas perlipant sprendinį d nesikeičia, jei (x-d) įeina į sandaugą lyginiu laipsniu, ir keičiasi, jei nelyginiu.

Pvz, nagrinėjam (x+1)³(x-1)²(x-2). Intervalai bus (-∞, -1), (-1, 1), (1, 2) ir (2, +∞), o ženklai keisis taip: + - - +.

maneDar kartelį užklydau . Rasti geometrinės progresijos b11, kai S10-S9=15 q=2 išsprendžiau lengvai.
Tačiau užstrigau su tokiu: S11-S10 = 5 , raskite b12. Ir įstatinėti vietoj Sn, jų formules mėginau, ir taip ir anaip, neišsisprendė, prašau padėkit.

Pažiūrėkime pavyzdžius. [math]{(x+2)^2}/{x-5}le{0}.[/math] Iš pradžių nagrinėjame atvejus, kai kas nors lygu nuliui. Vardiklis lygus 0, kai x = 5, todėl iš karto atmetame šį atvejį. Skaitiklis lygus nuliui, kai x = -2, taigi šis atvejis tinka. Jei x ≠ 5, tai mūsų nagrinėjama nelygybė galios tada ir tik tada, jei galios [math](x+2)^2(x-5){le}0,[/math] nes 1/(x-5) ir x-5 turi tą patį ženklą. Nagrinėkime intervalus (-∞, -2), (-2, 5), (5, +∞). Atitinkami ženklai bus - - + (pirmas minusas nesikeičia, nes šaknis -2 įeina du kartus, t.y. (x+2) įeina du kartus).
Taigi gauname, kad (5, +∞) tinka. Nepamirškime anksčiau rasto -2. Taigi atsakymas bus [math]lbrace{-2}rbrace{union}(5,+infty).[/math]

Antras pavyzdys. [math]2(x-3/2)/{x-5}>0.[/math] Čia netiks nei atvejai, kai vardiklis 0, nei kai skaitiklis 0. Vardiklis 0, kai x = 5, skaitiklis 0, kai x = 3/2. Nagrinėjam, kai x ≠ 5, 3/2. Intervalai bus (-∞, 3/2), (3/2, 5), (5, +∞). Abi šaknys įeina po vieną kartą, todėl ženklai keičiasi: + - +. Taigi atsakymas [math]({-}{infty},3/2)union(5,+infty).[/math]

Dėl geometrinės progresijos: ką reiškia tos S ir b? Ar b_n yra sekos nariai (t.y. b_n = q * b_(n-1) = ... = q^(n-1) * b_1), o S_n = b_1 + ... + b_n?

Jei taip, tai tikrai negalima normaliai išspręsti uždavinio. Duota S_11 - S_10 = 5, t.y. b_11 = 5. Jei daugiau niekas neduota, tai paimkime bet kokį q ≠ 0. Tuomet egzistuoja geometrinė progresija, apibrėžta taip: b_n = 5 * q^(n - 11), ir b_11 = 5 * q^0 = 5, kaip ir reikia. Tačiau b_12 = 5q. Kadangi q buvo bet koks skaičius, nelygus nuliui, tai ir b_12 gali būti bet koks skaičius, nelygus nuliui.

Dėl geometrinės progresijos. Taip S yra suma, o b narys. Pirmame uždavinio variante duotas dar ir q, tai išsisprendžia labai lengvai. O antrame tik S11-S10=5 (t.y. b11=5), ir viskas. Turbūt klaida. O atsakymas knygoje 15.

Ačiū labai jums už pagalbą.
Dėl
(x+2)² <= 0
  x - 5   

Sąsiuvinyje radau kitokį sprendimą, :/ , x=-2 ir x =5, --+, ats: x<5. Ir knygoje toks atsakymas.

Mane vat domina dėl intervalų, kodėl + o ne -, apskritai, jei kvadratinė funkcija pvz x² > 5 , tai ašyje skaičių galiu suprasti, kad tai lyg parabolė, šakos į viršų, ir nuo -∞;-5 ir 5;+∞ jos ten teigiamos, o -5;5 neigiamos, tai
imu tiesiog kur šakos į viršų, t.y +inės. Bet kaip atrandami kokie turi būti ženklai, pvz Jūsų pateiktame pavyzdyje? arba kad ir tame pačiame
(x+2)² <= 0
  x - 5

Mhm, išsprendžiau taip, lyg ženklas būtų ≥, o ne ≤.

Dėl tų ženklų keitimosi parašiau anksčiau žinutę. Sakykime, turi kažkokį reiškinį [math](x-A)^a(x-B)^b{...}(x-C)^c,[/math] kur A < B < ... < C, ir nori išsiaiškinti, kad reiškinys teigiamas, o kada neigiamas. Aišku, kad šitas reiškinys lygus 0, kai x = A, x = B, ..., x = C. Nagrinėjame intervalus (-∞, A), (A, B), ..., (C, +∞). Jei x > C, reiškinys teigiamas, nes visi atskiri daugikliai teigiami. Taigi turime, kad pirmas intervalas iš dešinės (C, +∞) yra +. Nagrinėjame antrą intervalą iš dešinės (t.y. peršokame C). Jei c lyginis (t.y. (x-C) įeina lyginiu laipsniu), tai ženklo nekeičiame. Jei c nėra lyginis, tai ženklą keičiame. Ir taip einame iš dešinės į kairę, kol praeiname visus intervalus.

Pavyzdžiui, turime (x+1)³(x-1)²(x-2). Nagrinėjame intervalus (-∞, -1), (-1, 1), (1, 2), (2, +∞). Kai x > 2, reiškinys teigiamas, nes visi daugikliai teigiami. Taigi (2, +∞) yra +.

Šokame į (1, 2): peršokome 2, o (x-2) įeina nelyginiu laipsniu (pirmu laipsniu), todėl ženklas keičiasi, t.y. (1, 2) yra -.

Šokame į (-1, 1): peršokame 1, kuris įeina lyginiu laipsniu (antru laipsniu), todėl ženklas nesikeičia. Taigi (-1, 1) yra -.

Šokame į (-∞, -1): peršokame -1, kuris įeina nelyginiu laipnsiu (trečiu laipsniu), todėl ženklas keičiasi. Taigi (-∞, -1) yra +.


Kodėl galioja ši taisyklė? Todėl, kad ką bekeltum kvadratu, niekada negausi neigiamo skaičiaus. Taigi, jei turi reiškinį x^5 * (x-1)^4 * (x-5)^3, tai gali padalinti iš x^4 * (x - 1)^4 * (x - 5)^2 ir gauti x * (x-5). Dalinant ženklas nesikeis, nes daliname iš teigiamo skaičiaus (kvadratas nebūna neigiamas!). Daliname iš nenulinio skaičiaus, nes atvejus, kai x = 0, x = 1 arba x = 5 išnagrinėjame iš anksto ir dabar nagrinėjame tik atvejį, kai x ≠ 0, 1, 5. Taigi lyginiai laipsniai išsidalina ir jų nelieka, todėl jie nieko nedaro ir ženklo nekeičiame, o nelyginiai neišsidalina, todėl ženklą turime pakeisti.




Galima + ir - sužymėti ir kitaip. Iš pradžių kaip ir anksčiau sudaliname realius skaičius į intervalus. Tuomet imame bet kurį skaičių iš kiekvieno intervalo (tik neimame kraštinių skaičių iš intervalo!). Jei skaičius teigiamas, tai visas intervalas bus teigiamas, o jei neigiamas, tai visas intervalas bus neigiamas.

Pavyzdžiui, jei turi P(x) = x^5 * (x-1)^4 * (x-5)^3, tai nagrinėjame intervalus (-∞, 0), (0, 1), (1, 5), (5, +∞). Iš (-∞, 0) imame -1 ir gauname, kad P(-1) > 0, todėl (-∞, 0) yra +.
Iš (0, 1) imame 1/2 ir gauname, kad P(1/2) < 0, todėl (0, 1) yra -.
Ir t.t.

Ojej, labai dėkui tau. Tas antras variantas žiauriai geras, dabar dar įdėmiau pasiskaitysiu tavo pirmąjį vatiantą, gal ir tas pasirodys aiškesnis. Labai džiaugiuos dabar, ačiū

Labutis, kas galetu padeti man isspresti sias nelygybes va;
9x²>0
ir 0,09x²≤0,04