Nelygybės su moduliais (sprendimas)

|5 - x| < |2 - x| + |2x - 7|







|3 - 4x| ≤ |2 + 7x|


Kaip isspresti abi nelygybes su moduliais ?

pirma surandam |5 - x| < |2 - x| + |2x - 7| - visų modulių šaknis (taškus ties kuriais moduliai lygus nuliams). Ties savo šaknimis moduliai skaičių tiesę padalins į  intervalus kur vienoj pusėj jie teigiami ir kitoj neigiami.

Trys moduliai, trys taškai skaičių tiesėje kur moduliai keičia ženklus
|5 - x| => x=5 ;  |2 - x|  => x=2  ;  |2x - 7| => x=3.5

intervalų metodas pasikinkius skaičių tiesę. kuri padalinta į keturis intervalus.:
|5 - x|    +                  +                    +                    -
|2 - x|    +                  -                      -                    -
|2x - 7|  -                    -                    +                  +
          _______]2(________]3.5(________]5(_________>x

Sudarysim kiekvienam intervalui po sistemą. bus viso 4 sistemos. tų keturių sistemų sprendinių aibių sąjunga bus atsakymas.
p.s. Ten kur modulis skaičių tiesėj teigiamas, jis nekeičia ženklo. kur neigiamas, keičia(tam kad "išsaugotų" "nekaltybę"(teigiamą įvaizdį-ženklą.)).

[tex]\[\left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
(5 - x) < (2 - x) - (2x - 7)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x < 2
\end{array} \right.\][/tex]

[tex]\[\left\{ \begin{array}{l}
2 < x \le 3.5\\
(5 - x) <  - (2 - x) - (2x - 7)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 < x \le 3.5\\
0x < 0
\end{array} \right.\,\,\emptyset \][/tex]

[tex]\[\left\{ \begin{array}{l}
3.5 < x \le 5\\
(5 - x) <  - (2 - x) + (2x - 7)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.5 < x \le 5\\
x > 3.5
\end{array} \right.\][/tex]

[tex]\[\left\{ \begin{array}{l}
x > 5\\
- (5 - x) <  - (2 - x) + (2x - 7)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 5\\
x > 2
\end{array} \right.\][/tex]

antra sistema sprnd. neturi. pirmosios sprendinių aibė yra (-∞;2), trečiosios (3.5;5], ketvirtosios (5;+∞) ir visų sprendinių sąjunga yra atsakymas: |5 - x| < |2 - x| + |2x - 7|, kai x∈(-∞;2)∪(3.5;+∞)

antra nelygybė analogiškai.