ematematikas Registruotis Ieškoti

Olimpiadinis uždavinys su trečio laipsnio lygtimi

Skaičiavimai   Peržiūrų skaičius (73)

  (√5+1)/2  yra lygties x³-xa-b=0  sprendinys. Apskaičiuokite a ir b reikšmes, jeigu a ir b yra racionalieji skaičiai

0

[tex]x^3-ax-b=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex].
Čia [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] lygties [tex]x^3-ax-b=0[/tex] šaknys. Žinome, kad: [tex]x_1=\dfrac{\sqrt5+1}{2}.[/tex]
[tex](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3.[/tex]
Vadinasi:
$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a\\ x_1x_2x_3=b\end{cases}\implies \begin{cases}x_2+x_3=-x_1\\ x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=-a\\ x_1x_2x_3=b\end{cases}\implies\\ \begin{cases}x_2+x_3=-x_1\\ -x_1^2+x_2x_3=-a\\ x_2x_3=\dfrac{b}{x_1}\end{cases}\implies\begin{cases}x_2+x_3=-x_1\\ -x_1^2+\dfrac{b}{x_1}=-a\\ x_2x_3=\dfrac{b}{x_1}\end{cases}\implies x_1^2-\dfrac{b}{x_1}-a=0$$
Kai [tex]x_1=\dfrac{\sqrt5+1}{2}[/tex], tai: [tex]\left(\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)^2-\dfrac{b}{\frac{\sqrt5+1}{2}}-a=0\implies a=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}-\dfrac{2b}{\sqrt5+1}=\\\dfrac{3+\sqrt5}{2}-\dfrac{2b(\sqrt5-1)}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}-\dfrac{b(\sqrt5-1)}{2}=\dfrac{3+\sqrt5-b\sqrt5+b}{2}=\dfrac{3+b+(1-b)\sqrt5}{2}.[/tex]
Gauta trupmena bus racionalusis skaičius tik tada, kai: [tex]1-b=0\implies b=1[/tex].
Tada: [tex]a=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2[/tex]
Atsakymas: a=2, b=1.

0

x(x²-a)-b=(√5+1)/2)((3+√5)/2-a)-b=√5+2-a(√5+1)/2-b=0  a=2  b=1

0

Visai gražu, nepagalvojau taip pasiskaidyti. Užrašau tik tavo sprendimą šiek tiek detaliau ir vaizdžiau, nes sunku skaityti eilute užrašytą sprendimą:
[tex]x^3-ax-b=x(x^2-a)-b[/tex]
[tex]x_1(x_1^2-a)-b=0\implies \left(\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)\cdot \left(\left(\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)^2-a\right)-b=0\implies \\\left(\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{6+2\sqrt5}{4}-a\right)-b=0\implies \left(\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{3+\sqrt5}{2}-a\right)-b=0\implies \\\dfrac{(\sqrt5+1)(3+\sqrt5)}{4}-\dfrac{\sqrt5+1}{2}a-b=0\implies b=\dfrac{3\sqrt5+5+3+\sqrt5-2a\sqrt5-2a}{4}=\\\dfrac{(4-2a)\sqrt5+8-2a}{4}[/tex]Trupmena racionalusis skaičius, kai: [tex]4-2a=0\implies a=2[/tex] Tada: [tex]b=\dfrac{8-2\cdot2}{4}=1[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-10-10

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!