Optimizavimo uždavinys. 12 kl. Stereometrija.

Apie sferą, kurios spindulio ilgis lygus 8cm, apibrėžtas mažiausio galimo tūrio kūgis. Apskaičiuokite šio mažiausio tūrio kūgio aukštinę ir pagrindo spindulį.


Kaip čia išsireikšti tuos dydžius, kad būtų funkcija su vienu nežinomuoju?
Ačiū!

Žinome, kad kūgio tūris lygus: [tex]V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h[/tex]
Iš trikampių OED ir BDC panašumo (abu statūs ir turi bendrą kampą) galime užrašyti, kad:
$$\dfrac{8}{r}=\dfrac{BE}{h}$$ Iš trikampio OEB galime užrašyti, kad: $$BE=\sqrt{(h-8)^2-64}$$ Galiausiai gauname, kad:$$\dfrac{8}{r}=\dfrac{\sqrt{(h-8)^2-64}}{h}\\r=\dfrac{8h}{\sqrt{(h-8)^2-64}}=\dfrac{8h}{\sqrt{h^2-16h}}$$ Taigi: $$V(h)=\dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac{8h}{\sqrt{h^2-16h}}\right)^2\cdot h\\V(h)=\dfrac{1}{3}\pi\cdot \dfrac{64h^2}{h^2-16h}\cdot h\\V(h)=\dfrac{64\pi}{3}\cdot \dfrac{h^3}{h^2-16h}$$