Parabolės liestinės lygties radimas be išvestinių.

Tarkime turime kvadratinės funkcijos grafiką, kurio lygtis bendru atveju yra: [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Užduotis mūsų prašo rasti šios funkcijos grafiko liestinę taške [tex]x=x_0[/tex]. Dvyliktokui ši užduotis būtų gan paprasta. Pritaikęs liestinės lygties formulę [tex]y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)[/tex] jis nesunkiai užduotį atliktų. Tačiau ar ši užduotis būtų įveikiama devintokui, dešimtokui, ar vienuoliktui? Žinoma! Tereikia šiek tiek pagalvoti ir užduotis taip pat nesunkiai būtų įvykdyta. Štai kaip galima rasti liestinės lygtį be diferencialinio skaičiavimo:

Tarkime liestinės lygtis yra [tex]y=mx+n[/tex], kur m ir n mums nežinomi koeficientai. Žinome, jog bet kuri parabolės liestinė turi tik vieną bendrą tašką su parabole. Ieškodami šio bendro taško susilyginame funkcijų lygtis ir gauname lygtį:
[tex]ax^2+bx+c=mx+n[/tex]
Pertvarkę ją gauname kvadratinę lygtį:
[tex]ax^2+(b-m)x+c-n=0[/tex]
Kadangi funkcijų grafikai turi tik vieną bendrą tašką, tai ši lygtis turi turėti vienintelį sprendinį. Gautoji lygtis turės vieną sprendinį tada, kai [tex]D=0[/tex]. Vadinasi teisinga lygybė:
[tex](b-m)^2-4a(c-n)=0[/tex]
Antrąją lygybę gausime į kvadratinę lygtį vietoje [tex]x[/tex] įsistatę [tex]x_{0}[/tex]. Šios dvi lygtis sudaro sistemą:
[tex]\begin{cases} (b-m)^2-4a(c-n)=0 \\ ax_0^2+(b-m)x_0+c-n=0 \end{cases}[/tex]

Pažymėję [tex]p=b-m[/tex], [tex]q=c-n[/tex]
[tex]\begin{cases} p^2-4aq=0 \\ ax_0^2+px_0+q=0 \end{cases}\implies \begin{cases} q=\dfrac{p^2}{4a} \\ ax_0^2+px_0+\dfrac{p^2}{4a}=0 \end{cases}[/tex]
Sprendžiame antrą sistemos lygtį:
[tex]ax_0^2+px_0+\dfrac{p^2}{4a}=0[/tex]
[tex]4a^2x_0^2+4apx_0+p^2=0[/tex]
[tex](2ax_{0}+p)^2=0[/tex]
[tex]p=-2ax_{0}[/tex]
Tuomet [tex]q=\dfrac{p^2}{4a}=\dfrac{(-2ax_{0})^2}{4a}=\dfrac{4a^2x_0^2}{4a}=ax_0^2[/tex]
Grįžę prie keitinių gauname:
[tex]m=b-p=b-(-2ax_{0})=b+2ax_{0}[/tex]
[tex]n=c-q=c-ax_0^2[/tex]
Vadinasi liestinės lygtis taške [tex]x=x_{0}[/tex]:
[tex]y=mx+n=(b+2ax_{0})x+c-ax_0^2[/tex]

Jog ši išsivesta formulė (be jokio diferencialinio skaičiavimo) yra teisinga galima įsitikinti taikant liestinės lygties formulę:
[tex]y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)[/tex]
[tex]f'(x)=2ax+b[/tex]
[tex]y=(2ax_0+b)(x-x_0)+ax_0^2+bx_0+c=2ax_0x-2ax_0^2+bx-bx_0+ax_0^2+bx_0+c=2ax_0x-ax_0^2+bx+c=(b+2ax_{0})x+c-ax_0^2[/tex]

Štai pasirodo parabolės liestines galime rasti ir visiškai nemokėdami diferencialinio skaičiavimo!