Pasiruošimas egzaminui. Trigonometrinių lygčių sistema

Išspreskite lygčių sistemą:
[tex]\frac{x}{\cos(x^{^{2}}-y^{2})}-y\cdot tg(x^{^{2}}-y^{2})=\sqrt{\frac{\pi }{2}}[/tex]
[tex]\frac{y}{\cos(x^{^{2}}-y^{2})}-x\cdot tg(x^{^{2}}-y^{2})=\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]

Sprendimas:  pirmą lygtį sudek su antra gausi lygtį po to iš antros atimk antrą gausi antrą lygtį  Pirmą lygtį susitvarkyk  ir išsikelk ((x+y)  susitvarkyk antrą lygtį ir  išsikelk (x-y)  Po to abi sudaugink  x²-y²=π/6  x/cos(π/6)-ytg(π/6)=√(π/2)  ir  y/cos(π/6)-xtg(π/6)=√(π/3)  įsistatai reikšmes ir išsprendi lygčių sistemą  čia olimpiadinis  uždavinys

Sprendimas:
Lygtis sudedam:
[tex]\frac{x+y}{\cos \left ( x^{2}-y^{2}\right )}-\left ( x+y \right )\cdot tg\left ( x^{2}-y^{2} \right )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]
Lygtis atimame:
[tex]\frac{x-y}{\cos \left ( x^{2}-y^{2}\right )}+\left ( x-y \right )\cdot tg\left ( x^{2}-y^{2} \right )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]
Susitvarkom (iškeliame prieš skliaustus (x+y) arba (x-y)):
[tex]\left ( x+y \right )\left ( \frac{1}{\cos\left ( x^{2}-y^{2} \right )}-tg\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]
[tex]\left ( x-y \right )\left ( \frac{1}{\cos\left ( x^{2}-y^{2} \right )}+tg\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]
Sudauginame:
[tex]\left ( x^{^{2}}-y^{2} \right )\left ( \frac{1}{\cos^{2} \left ( x^{2}-y^{2} \right )}-tg^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right )=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}[/tex]
Taikome formulę:
[tex]\frac{1}{cos^{2}\alpha }-tg^{2}\alpha=\frac{1-\sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=1[/tex]
Gauname:
[tex]x^{2}-y^{2}=\frac{\pi }{6}[/tex]
Įsistatom į duotąsias sąlygoje lygtis:
[tex]\frac{x}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}-y\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}[/tex]
[tex]\frac{y}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}-x\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{\frac{\pi }{3}}[/tex]
Pirmą lygtį padauginame iš 2 ir sudedam su antrąja:
[tex]4x-2y=2\sqrt{\frac{3\pi }{2}}[/tex]
[tex]3x=2\sqrt{\frac{3\pi }{2}}+\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }\left ( \sqrt{6}+1 \right )[/tex]
Antrą lygtį padauginame iš 2 ir sudedam su pirmąja:
[tex]4y-2x=2\sqrt{\pi }[/tex]
[tex]3y=2\sqrt{\pi }+\sqrt{\frac{3\pi }{2}}=\sqrt{\pi }\left ( 2+\sqrt{\frac{3}{2}} \right )[/tex]
Abi lygis daliname iš 3 ir gauname atsakymą:
[tex]x=\sqrt{\pi }\cdot \frac{\sqrt{6}+1}{3}[/tex]
[tex]y=\sqrt{\pi }\cdot \frac{2+\sqrt{\frac{3}{2}}}{3}[/tex]
Pasiktrinam:
[tex]x^{2}-y^{2}=\pi \cdot \frac{1,5}{9}=\frac{\pi }{6}[/tex]

atsakymas:
[tex]x=\sqrt{\pi }\cdot \frac{\sqrt{6}+1}{3}[/tex]
[tex]y=\sqrt{\pi }\cdot \frac{2+\sqrt{\frac{3}{2}}}{3}[/tex]

Gal labiau "pasiruošiam matematikos olimpiadai"? :)
Aš sprendžiau abi lygtis keldamas kvadratu, tada atėmiau pirmą iš antros, gavau [tex]x^2-y^2[/tex] reikšmę, įsistačiau ją į pradinę sistemą, gavosi ta pati tiesinių lygčių sistema ir ją išsprendus gavau atsakymą.

Sutiksiu su Tomu ir MykolasD, kad čia olimpiadinis uždavinys.
Asmeniškai aš, bandau pasispręsti sunkesnius uždavinius (kartais pavyksta, kartais ne) ir laikau tai, kaip pasiruošimas egzaminui. Manau, jeigu mokinys sugeba išspręsti tokio tipo uždavinius, egzamino lygteles tikrai nesukels problemų.