Pateiktos lygties sprendinių skaičius

Išspręskite lygtį: x^³√x=x(³√x)

\begin{equation}
x^{\sqrt[3]{x}}=x \cdot \sqrt[3]{x}
\end{equation}\begin{equation}
x^{\sqrt[3]{x}}=x \cdot x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{4}{3}}
\end{equation}\begin{equation}
\therefore \sqrt[3]{x}=\frac{4}{3}
\end{equation}\begin{equation}
(\sqrt[3]{x})^{3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}
\end{equation}\begin{equation}
x=\frac{64}{27}
\end{equation}

[tex]x^\sqrt[3]{x}=x\cdot\sqrt[3]{x}[/tex]
[tex]x≠0[/tex]
[tex]x^{x^\frac{1}{3}}-x^\frac{4}{3}=0[/tex]
[tex]x^\frac{1}{3} \cdot ln(x)- \frac{4}{3} \cdot ln(x)=0[/tex]
[tex]ln(x) \cdot (x^\frac{1}{3}- \frac{4}{3})=0[/tex]
[tex]ln(x)=0[/tex]
[tex]x>0; x=1[/tex]
[tex]x^\frac{1}{3}- \frac{4}{3}=0[/tex]
[tex]x=\frac{64}{27}[/tex]
Atsakymas: x=1; x=64/27

Išspręskite lygtį: [tex]x^{x}=x[/tex]

Reikia žinoti apibrėžimą:
[tex]
a^{\frac{m}{n}},m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},n>1,a>0[/tex]
!!! Iš čia suprantame, kad x>0: [tex](-1)^{-1}≠-1[/tex]
[tex]x^x=x \\ x\cdot ln(x)=ln(x) \\ ln(x)(x-1)=0 \\ x=1
[/tex]

Seip [tex](-1)^{-1}=-1[/tex]

Kai kurie matematikai (Tom Rocks Maths, blackpenredpen) teigia, jog funkcijos x^x apibrėžimo sritis: x>0, bet taip pat galime rasti straipsnių, kuriuose yra parašyta, kad x gali būti neigiamas: The function f(x)=x^x usually isn't defined for  x<0 (x^x  is only real for x<0 if x is an integer or a fraction with odd denominator.) Išvada: galima ginčytis :D
+Nemanau, kad įmanoma gauti sprendinį x=-1 jo "neatspėjant." Taip pat mokykloje (bent jau aš) nesimokiau kompleksinių skaičių ir jų nėra mokyklinėje programoje, gal su jais kažkaip galima išspęsti :/

[tex]x^x=x[/tex]
Galima perrasyti: [tex]x^{x-1}*x=1*x[/tex], taigi reikia, kad [tex]x^{x-1}=1[/tex]
Keliant laipsniu vieneta gausim trejais atvejais:
a) Laipsnio rodyklis lygus [tex]0[/tex], tai [tex]x-1=0[/tex] tai [tex]x=1[/tex]
b) Laipsnio pagrindas lygus [tex]1[/tex], tai vel [tex]x=1[/tex]
c) Laipsnio pagrindas lygus [tex]-1[/tex], o laipsnio rodiklis lyginis skaicius. Tai jei pagrindas [tex]x=-1[/tex], rodiklis bus [tex]-2[/tex], o [tex]-2[/tex] yra lyginis, tai tinka [tex]x=-1[/tex]