eMatematikas.lt
Prisijungti        

Patogesnis būdas kompleksiniams skaičiams rasti


Sveiki, turiu klausimą.
Jeigu duota sąlyga yra apskaičiuoti:
[tex]\frac{(1+\sqrt(3)i)^{10}}{(\sqrt(2) - \sqrt(2)i)^{14}}[/tex]

Ar yra koks nors patogesnis ir greitesnis būdas, nei naudojant Niutono Binomo formulę skaitikliui ir vardikliui?

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-01-15

0

O jei išreikštum trigonometrine forma.

0

Paaiškinsiu išsamiau. Jei turime kompleksinį skaičių $a+bi$, tai jį galima išreikšti trigonometrine arba rodikline forma. Tai gan teorinis procesas, suteikiantis žinių tik kaip atlikti tam tikrą procedūrą. Norint, kad jis taptų ne vien teoriniu, o dar ir suprantamu, reikia turėti kompleksinio skaičiaus geometrinį vaizdinį ir suvokti, kaip simboliškai aprašomi aritmetiniai veiksmai (ypač sudėtis ir daugyba) atrodo geometriškai. Mano vaizdinys toks:
• $a+bi$ yra skaičius, kurį ,,sudaro" kažkiek realiosios (${re}_{al}$) ir kažkiek menamosios ($\text{im}_{aginary}$)dalies.
• Šis skaičius yra vaizduojamas kaip taškas $re$ (x - atitikmuo) -- $im$ (y - atitikmuo) koordinačių sistemoje, kurio koordinatės yra $(a;b)$. Be to dažniau yra patogu dirbti ne su taškais, o su vektoriais, šiuo atveju vektoriumi iš $(0;0)$ į $(a;b)$.
• Kompleksiniai skaičiai susideda taip kaip ir vektoriai sudedant jų koordinates:
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
• Dauginant kompleksinius skaičius situacija kitokia nei su įprastais vektoriais, bet iš esmės daug patogesnė. Yra suskaičiuojama norma - geometrine prasme nuotolis nuo nulinio taško. Skaičiui $a+bi$ tai būtų ilgio reikšmė $\sqrt{a^2+b^2}$. Taip pat yra skaičiuojamas argumentas - geometrine prasme kampas $\alpha$, kuriuo vektorius $(a;b)$ yra pasuktas nuo $re$ ašies. Užrašome:
$$a+b i=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}i+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$
Galime įsitikinti, jog antrojo daugiklio norma yra lygi 1. Šios sandaugos prasmė yra kompleksinio skaičiaus išreiškimas vienetinio ilgio vektoriumi, pailgintu daugikliu $\sqrt{a^2+b^2}$. Tik tada, kai atliekame šį išreiškimą, kampą $\alpha$ įmanoma rasti iš lygybės
$$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}i+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=i\sin\alpha +\cos\alpha$$
Išraiška $$a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(i\sin\alpha +\cos\alpha)$$
ir būtų vadinama šio skaičiaus trigonometrine forma.
• Dauginant du kompleksinius skaičius jų argumentai susideda, o normos susidaugina

Paskutinysis teiginys ir bus esminis sprendžiant šį uždavinį.

0

Pavyzdys, kaip pritaikyti turimas žinias:
• $1+i\sqrt{3}$ yra skaičius, kuriam galime nustatyti jo normą ir argumentą. Norma yra lygi 2, o argumentas $\frac{\pi}{3}$ (t.y. $60^o$)
• Jei šį skaičiume pakelsime 10 laipsniu, tai reiškia, jog jį pakartotinai su savimi sudauginsime 10 kartų. Vadinasi jo norma irgi bus dauginama su savimi 10 kartų, o argumentas sudedamas su savimi 10 kartų. Rezultate turėsime skaičių, kurio norma lygi $2^{10}$, o argumentas $600^o$ (šiuo atveju tas pats, kas $240^o$)
• Turint normą ir argumentą galima vienareikšmiškai nustatyti, koks yra gautas naujasis skaičius. Tai būtų $2^{10}\cdot (i\sin 240^o+cos 240^o)$
Ši eiga pakankamai nesudėtinga, todėl ją galime apibendrinti Muavro formule

0

Dėkui, jau išsiaiškinau, kaip atlikti uždavinį remiantis Muavro formule.

0

Lemon, gal būt bandei pasigilinti ir į mano paaiškinimą, kaip ši formulė yra konstruojama (pirmame komentare)? Kaip pasirodė medžiaga - ar reiktų įdėti daug pastangų, norint suprasti kiekvieną iš penkių punktelių, o gal dalis iš jų ir taip buvo aiškūs?

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!