Pilnas funkcijos nagrinėjimas su grafiku

Sveiki,

Gal galite padėti pilnai išnagrinėti šią funkciją, arba bent jau užvesti ant kelio?
Būčiau begalo dėkinga.

Funkcija:

y=2x-1/3-x

Kas nors? :(

O čia turėjai omeny "2x - 1" skaitiklis ir "3 - x" vardiklis, ar taip kaip parašei "2x - 1/3 - x", kas atitinka "x - 1/3"?
Pirmi žingsniai būtų f-jos apibrėžimo ir reikšmių sritis rasti, taškus kur kerta X0 ašį, ...

Taip turėjau galvoje, kad 2x-1 skaitiklis, 3-x vardiklis. Tai jeigu rast apibrėžimo sritį D(f) tai darau taip:
2x-1>0/2
x>0.5

3-x>0
x<3

? Ir kaip toliau...

Ar Ziema žino, kas yra funkcijos apibrėžimo sritis?

Man rodos apibrėžimo sričiai nustatyti, kada f-ja turi prasmę, reikėtų rasti atvejus kada f-ja beprasmė. Šiuo atveju kada vardiklis = 0, tokios X reikšmės iškrenta, kitos galimos.
Kitos X reikšmės ar skaitiklis, vardiklis bus teigiamas ar neigiamas arba skaitiklis nulis - skaičiuoti netrukdo.
Rask intervalus kada f-ja teigiama, kada neigiama, kada 0. G. b. ji turės maksimumą ar minimumą, o gal kokias ribas...
Kad būtų aiškiau kas kur link - siūlau pasipaišyti nors apytikslį grafiką.

Turime funkciją [tex]f(x)=\frac{2x-1}{3-x}[/tex]

Funkcijos tyrimas susideda iš 9 dalių:

1. Apibrėžimo sritis:
Duotos funkcijos tik vardiklis negali būt lygus nuliui, taigi gauname, kad [tex]x\neq 3[/tex].

2. Periodiškumas arba/ir lyginumas:
Funkcija vadinama lygine, jei [tex]f(x)=f(-x)[/tex], o nelygine, jei[tex]f(-x)=-f(x)[/tex].
Funkcijos, neatitinkančios nei lyginių, nei nelyginių funkcijų reikalavimų vadinamos nei lyginėmis, nei nelyginėmis.
Matematiškai griežtai įrodyti, kad ši funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė, galima pasiėmus kokį nors tašką, nes funkcija turi tenkinti reikalavimus visoje realiųjų skaičių aibėje, apart taško [tex]3[/tex]. Pavyzdžiui, imame [tex]x=1[/tex].

[tex]f(1)=\frac{1}{2}[/tex], o [tex]f(-1)=-\frac{3}{4}[/tex].
Kadangi [tex]f(1)\neq f(-1)[/tex] , tai funkcija nėra lyginė. O kadangi [tex]f(-1)\neq -f(1)[/tex], funkcija taip pat nėra nelyginė. Taigi, nei lyginė, nei nelyginė.

3. Funkcijos nuliai, t.y. kada grafikas kerta [tex]x,y[/tex] ašis.
[tex]Ox[/tex] ašį kerta, kai [tex]y=0[/tex], taigi sprendžiame lygtį [tex]\frac{2x-1}{3-x}=0[/tex]
[tex]2x-1=0[/tex],              [tex]3-x\neq0[/tex]
[tex]x=0.5[/tex],                    [tex]x\neq3[/tex]
Taigi funkcija kerta [tex]Ox[/tex] ašį taške [tex](0.5;0)[/tex].
[tex]Oy[/tex] ašį kerta, kai [tex]x=0[/tex]. Įsistatę gauname, kad kirs taške [tex](0;-\frac{1}{3})[/tex].

4. Išvestinės skaičiavimas:
Taikome dalybos formulę, gauname
[tex]f'(x)=\frac{(2x-1)'\cdot(3-x)- (2x-1)\cdot(3-x)'}{(3-x)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{2(3-x)+(2x-1)}{(3-x)^2}=\frac{6-2x+2x-1}{(3-x)^2}=\frac{5}{(3-x)^2}.[/tex]

5. Kritiniai taškai:
Kritiniai taškai randami išvestinę prilyginus nuliui, taip pat pridėjus taškus kuriuose išvestinė neegistuoja. Išvestinė niekada nebus lygi nuliui, o neegzistuos taške [tex]3[/tex] (kartotinis taškas). Taigi kritinis taškas yra tik vienas [tex]3[/tex].

6. Pastovaus ženklo intervalai:
Brėžiame skaičių tiesę, atidedame skaičių [tex]3[/tex] ir tikriname, kokius ženklus išvestinė įgis abiejuose galuose. Išvestinė bus teigiama, taigi funkcija didės, kai [tex]x\in(-\infty;3)\cup (3;+ \infty)[/tex]. Mažėjimo intervalų nėra.

7. Ekstremumų skaičiavimas.
Jei perėjus kritinį tašką iš kairės į dešinę, funkcijos išvestinės reikšmė pakeičia ženklą, tai tas kritinis taškas vadinamas ekstremumo tašku, o funkcijos reikšmė ekstremumo taške vadinama ekstremumu Mūsų atveju išvestinė perėjus kritinį tašką ženklo nekeičia, taigi ekstremumų nebus.

8. Grafiko braižymas:
Vertikalią asimptotę jau turime, taškas [tex]3[/tex], reikia rasti horizontalią: [tex]lim_{x \to \infty}\frac{2x-1}{3-x}=-2[/tex]. Nusibrėžiame punktyrine linija asimptotes (funkcijos grafikas prie jų artėja, tačiau niekada nekerta) [tex]x=3[/tex] ir [tex]y=-2[/tex], atsidedame taškus, kada kerta ašis ir bandome brėžti. Grafikas gaunasi kaip hiperbolės.
Pasinaudok šia nuoroda (https://www.desmos.com/calculator), pasitikrinsi ar gerai nubrėžei grafiką.

9. Reikšmių sritis:
Iš grafiko matome, kad [tex]y\in(-\infty;-2)\cup (-2;+\infty)[/tex].