Plokštumos lygtis su nutolimo atstumu

Prasau padekite, isivaizduoju plius minus kaip parasyti lygti turint 3 plokstumos taskus, bet visiskai nesuprantu kaip elgtis su siuo uzdaviniu, kai prisideda ir tasku atstumai.

Parašykite lygtį plokštumos, einančios per tašką M (5, 2, 0) ir nutolusios nuo taško P (6, 1, -1) atstumu 1, o nuo taško Q (0, 5, 4) atstumu 3.

Aciu

Prasau pagalbos, ar tikrai niekas negali padeti?

Pažiūrėsiu, ką galima padaryti.

Lauksiu žinių!

Nežinau, tiesą sakant ilgai sėdėjau prie šio uždavinio. Vieną sprendimo būdą sugalvojau. Vienintelis didžiausias jo minusas, jog pasirinkus neteisingą vektoriaus kryptį, galime negauti sprendinių, o tada teks vėl iš naujo spręsti uždavinį. Pateikiu sprendimą žemiau, jog suprastumei apie ką kalbu:

Taškai Q ir P šiame paveikslėlyje yra skirtingose plokštumos pusėse, o tai reiškia, kad vektoriai [tex]\vec{Q_1Q}[/tex] ir [tex]\vec{P_1P}[/tex] yra priešpriešiniai. Tokiu atveju, jei vektoriaus [tex]\vec{Q_1Q}[/tex] koordinates žymime [tex]\{a;b;c\}[/tex], logiška, jog vektoriaus [tex]\vec{P_1P}[/tex] koordinatės tada bus: [tex]\{-\frac{1}{3}a;-\frac{1}{3}b;-\frac{1}{3}c\}[/tex], nes atkarpa [tex]P_1P[/tex] yra triskart trumpesnė už [tex]Q_1Q[/tex]. Realiai nežinom, ar taškai P ir Q yra skirtingose plokštumos pusėse, taigi kitą variantą turėtume dar negrinėti, kai [tex]\vec{P_1P}\{\frac{1}{3}a;\frac{1}{3}b;\frac{1}{3}c\}.[/tex] Tačiau jį patikrinus, jis neduoda sprendinių (t.y. galimų plokštumos lygčių). Taigi apsistokime ties šiuo atveju, kuris pavaizduotas paveikslėlyje.
Kadangi [tex]\vec{Q_1Q}\{a;b;c\}=\vec{Q_1Q}\{0-x_{Q_1};5-y_{Q_1};4-z_{Q_1}\}[/tex], tai galime užrašti, kad:
[tex]Q_1\left(-a;5-b;4-c\right)[/tex].
Atitinkamai: [tex]\vec{P_1P}\{-\frac{1}{3}a;-\frac{1}{3}b;-\frac{1}{3}c\}=\vec{P_1P}\{6-x_{P_1};1-y_{P_1};-1-z_{P_1}\}[/tex], tai galime užrašti, kad:
[tex]P_1\left(6+\frac{1}{3}a;1+\frac{1}{3}b;-1+\frac{1}{3}c\right)[/tex].
Dabar užrašome vektorių [tex]\vec{MQ_1}[/tex] ir [tex]\vec{MP_1}[/tex] koordinates:
[tex]\vec{MQ_1}\{-a-5;5-b-2;4-c-0\}=\vec{MQ_1}\{-a-5;3-b;4-c\}[/tex]
[tex]\vec{MP_1}\{6+\frac{1}{3}a-5;1+\frac{1}{3}b-2;-1+\frac{1}{3}c-0\}=\vec{MP_1}\{1+\frac{1}{3}a;-1+\frac{1}{3}b;-1+\frac{1}{3}c\}[/tex]
Žinodami, jog [tex]|\vec{Q_1Q}|=3[/tex] ir taip pat: [tex]\vec{MQ_1}⊥\vec{Q_1Q}[/tex], [tex]\vec{MP_1}⊥\vec{Q_1Q}[/tex]. Sudarome sistemą:
[tex]\begin{cases}
a^2+b^2+c^2=9 \\
-a(a+5)+b(3-b)+c(4-c)=0\\
a(1+\frac{1}{3}a)+b(\frac{1}{3}b-1)+c(\frac{1}{3}c-1)=0
\end{cases}[/tex]
Iš jos gauname tokius du sprendinių trejetus [tex](a;b;c)[/tex]:
[tex](1;2;2),\space (0;3;0)[/tex].
Taigi gavome dviejų galimų plokštumų normalės vektorius.
Kai [tex]\vec{n}\{1;2;2\}[/tex], tai plokštumos lygtis pavidalo:
[tex]x+2y+2z+D=0[/tex]. Randame [tex]D[/tex] reikšmę įsistatydami taško [tex]M[/tex] koordinates:
[tex]5+2\cdot 2+2\cdot 0+D=0\implies D=-9[/tex], taigi viena plokštuma:
[tex]x+2y+2z-9=0[/tex].
Atitinkamai randame antros galimos plokštumos lygtį:
[tex]3y-6=0[/tex].