pora matematiniu uzdaviniu ...

1. Tegu k – lyginis skaičius. Įrodykite, kad neįmanoma 1 išreikšti suma
1= 1/n_1 +1/n_2 +⋯+1/n_k ,
kur n_1,n_2,…,n_k yra nelyginiai natūriniai skaičiai.

2. Skaičiaus skaitmenų sumą pažymėkime s(a). Įrodykite, kad jeigu s(a)=s(2a), tada a dalosi iš 9.

1.Sakykim, taip išreikšti įmanoma.
[tex]1=\sum\limits_{i=1}^k{\frac{1}{n_i}[/tex]. Padauginę abi puses iš visų k skaičių sandaugos, gaunam [tex]\prod\limits_{i=1}^k{n_i}=n_2n_3n_4\ldots\ n_k+n_1n_3n_4\ldots n_k+ n_1n_2n_4\ldots n_k +n_1n_2n_3\ldots n_{k-1}[/tex].
Kairė reiškinio pusė yra nelyginė, dešinė lyginė - prieštara.

2. Tegul [tex]a=\overline{n_1n_2n_3\ldots n_k}[/tex].
[tex]\overline{n_1n_2n_3\ldots n_k}\equiv n_1+n_2+n_3+\ldots+n_k (\bmod {9})[/tex]
[tex]2(\overline{n_1n_2n_3\ldots n_k})\equiv 2(n_1+n_2+n_3+\ldots+n_k) (\bmod {9})[/tex]
Kadangi skaičių [tex]a[/tex] ir [tex]2a[/tex] skaitmenų sumos lygios, tai šių skaičių dalybos iš [tex]9[/tex] liekanos taip pat lygios:
[tex]2( n_1+n_2+n_3+\ldots+n_k)\equiv n_1+n_2+n_3+\ldots+n_k (\bmod {9})\Rightarrow n_1+n_2+n_3+\ldots+n_k\equiv 0 (\bmod {9}) [/tex].
Taigi [tex]a\equiv 0 (\bmod {9})[/tex].

lukasm, turi gal kokių matematikos medalių iškovojęs? :)

Kol kas neturiu kažko ypatingo :)
Tai nėra sudėtinga, ką čia parašau. Vien už tokių uždavinių sprendimą medalininku netampama...

Vistiek esi tikras ŠAUNUOLIS :)

lukasmKol kas neturiu kažko ypatingo :)
Tai nėra sudėtinga, ką čia parašau. Vien už tokių uždavinių sprendimą medalininku netampama...

lukasmKol kas neturiu kažko ypatingo :)
Tai nėra sudėtinga, ką čia parašau. Vien už tokių uždavinių sprendimą medalininku netampama...

Labai ačiū. :)
Aš vienuoliktokas.

Fenomenas.
palyginus aš žalios spalvos nevertas, arba tu nepakankamai įvertintas valdžios :D