house_martin (+2322)
čia bus visiškai nevėkšliškas sprendimas, statyčiau už tai kad atsakymas kažkuria prasme turėtų būti akivaizdus (bent jau dėl to kad mokykliniam kurse gavai šį uždavinį), bet nieko įdomesnio nei ta rašliava einanti toliau nesugalvojau ;]
Tarkim turi 8 daleles kurių pusėjimo trukmė yra 1 sekundė. Ir tariam kad pusė dalelių dingsta lygiai po vienos sekundės (laiko tarpe tarp 0 ir 1 sek. nieko nevyksta, tik praeina viena sekundė - baaam - pusė nebėra), po 1 sek lieka 4 dalelės, po 2 sek - 2 ir t.t. jei sudaugintume dalelių skaičių su laiku kurį jos gyvavo ir viską sudėtume:
(4 dalelės)*(1 sekundė) + (2 dalelės)*(2 sekundės) + (1 dalelė)*(3 sekundės) + (0.5 dalelės)*(4 sekundės) + ....
ir visą šitą padalintume iš 8 (visų dalelių skaičiaus) gautume vidutinį vienos dalelės gyvavimo laiką. Čia lygiai tas pats kas su kokiu viso klasės mokinių pažymių vidurkiu:
[(10 mokinių)*(gavo po dešimtukus 10) + (2 mokiniai)*(gavo po 6)]/12 = vidurkis (arba vidutinis pažimys).
Bet su realiom dalelėm skilimas nevykta taip kad praėjo 1620 metų ir bum nebėra pusės. Praėjus labai mažam laiko tarpui skyla kažkiek, praėjus dar vienam mažam laiko tarpui - dar kažkiek, taip jog po 1620 metų pusės nebėra. Jei neskilusių dalelių skaičius bet kuriuo laiko momentu t yra lygus:
[tex]N(t) = N_0 2^{-t/p}[/tex] (1)
kur raide p pavadinu pusėjimo laiką (pusamžį). Per mažą laiko tarpą [tex]\Delta t[/tex] skilusių dalelių skaičius yra lygus:
[tex]N(t) - N(t+\Delta t)[/tex] (2)
Sekant ta "logika" kurią pradžioje aprašiau ;] vidutinis gyvavimo laikas bus šitų skirtumų, padaugintų iš laiko, suma padalinus iš viso dalelių skaičiaus [tex]N_0[/tex]:
[tex]<t> = \frac{1}{N_0} \sum_{i=1}^{\infty} t_i \cdot (N(t_i) - N(t_i+\Delta t))[/tex] (3)
Kad galėtume šitą reikalą suskaičiuoti, galima pastebėti, kad (2) lygtyje sukeitus skirtumo narius vietomis ir padalinus gautą reiškinį iš [tex]\Delta t[/tex] gautume funkcijos išvestinę:
[tex]\frac{dN}{dt} = \frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}[/tex] (4)
kai [tex]\Delta t[/tex] artėja į nulį. Iš čia:
[tex]dN = \frac{dN}{dt} \cdot dt[/tex] (5)
(3) išraiškoje [tex]\Delta t[/tex] artėjant į nulį, skirtumas po sumos ženklu artės į (-dN), o pati suma virs integralu:
[tex]<t> = \frac{1}{N_0} \int \limits_{N = N_0}^{N = 0} t \cdot (-dN)[/tex] (6)
dN gali rasti iš (1) išraiškos:
[tex]dN = -\frac{N_0}{p} \ln 2 \cdot 2^{-t/p} dt [/tex]
įstačius šitai į (6) integralą:
[tex]<t> = \frac{1}{p} \ln 2 \int \limits_{0}^{\infty} t \cdot 2^{-t/p} dt[/tex]
Nemoku tokių skaičiuot (reiktų dalimis integruot matyt), bet wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+t%2A2%5E%7B-t%2Fp%7Ddt%2C+from+0+to+infinity) sako kad apibrėžtinis integralas (be daugiklių) lygus:
[tex]\frac{p^2}{\ln^2 2}[/tex]
padauginus iš tų daugiklių prieš integralo ženklą:
[tex]<t> = \frac{p}{\ln 2}[/tex]
pakeista prieš 15 m