Raskite reiškinio mažiausią reikšmę

\begin{equation}
\frac{5 \cos x-2 \sin ^{2} x+4 \sin x-3}{6|\cos x|+1}
\end{equation}

Radau vardiklio maksimumą, lygų 7, nes kuo didesnis vardiklis tuo mažesnė reiškinio reikšmė, bet nesigavo.

Pabandyk nagrinėti du atvejus:
a. [tex]x∈[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/tex], kai cosx yra teigiamas;
b. [tex]x∈[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}][/tex], kai cosx yra neigiamas;
Turėtum išspręsti.
O su išvestinėmis nelabai pavyktu, nes funkcijos vienpusės išvestinės tam tikruose taškuose būtų nelygios (tavo funkcija yra 'kampuota').

Aš tai nežinau, kaip išspręsti visai be išvestinių. Ką man pavyko sugalvoti, tai užrašyti reiškinį, kaip reiškinių: [tex]A(x)=\dfrac{4\sin x}{6|\cos x|+1},\space B(x)=\dfrac{5\cos x-3}{6|\cos x|+1},\space C(x)=\dfrac{-2\sin^2 x}{6|\cos x|+1}[/tex] sumą.
Tuomet ieškodamas [tex]A(x)[/tex] mažiausios reikšmės pažymiu [tex]t(x)=\sin x[/tex] ir gaunu:
[tex]a(t)=\dfrac{4t}{6\sqrt{1-t^2}+1},\space -1≤t≤1[/tex]. Paskaičiavęs išvestinę įsirodau, jog šio reiškinio reikšmės yra didėjančios visoje jo apibrėžimo srityje, taigi mažiausia reiškinio [tex]A(x)[/tex] reikšmė yra [tex]a(-1)=-4[/tex].
Ieškodamas [tex]B(x)[/tex] mažiausios reikšmės pažymiu [tex]p(x)=\cos x[/tex] ir gaunu:
[tex]b(p)=\dfrac{5p-3}{6|p|+1},\space -1≤p≤1[/tex]. Šį reiškinį nagrinėju dviem atskirais atvejais, kai [tex]-1≤p≤0[/tex] ir [tex]0≤p≤1[/tex]. Pasiskaičiavę išvestinę, gaunu, kad pirmajame intervale reiškinio reikšmės yra mažėjančios, o antrajame intervale didėjančios, taigi mažiausia reiškinio [tex]B(x)[/tex] reikšmė yra [tex]b(0)=-3[/tex].
Ieškodamas [tex]C(x)[/tex] mažiausios reikšmės pažymiu [tex]r(x)=|\cos x|[/tex] ir gaunu:
[tex]c(r)=\dfrac{-2(1-r^2)}{6r+1},\space 0≤r≤1[/tex]. Paskaičiavęs išvestinę įsirodau, jog reiškinio reikšmės yra didėjančios visoje jo apibrėžimo srityje, taigi mažiausia reiškinio [tex]C(x)[/tex] reikšmė yra [tex]c(0)=-2[/tex].
Tam, kad galėtume teigti, jog duoto reiškinio mažiausia reikšmė yra reiškinių [tex]A(x),\space B(x),\space C(x)[/tex] mažiausių reikšmių suma, turime įrodyti, jog yra tokia(-ios) kintamojo [tex]x[/tex] reikšmė(-ės) su kuria(-iomis) teisingos visos šios lygybės: [tex]\sin x=-1,\space \cos x=0,\space |\cos x|=0[/tex]. Išsprendę šių lygčių sistemą gautume, jog tokių [tex]x[/tex] reikšmių yra ir jos lygios: [tex]x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\space k∈\mathbb{Z}[/tex].
Vadinasi, kai [tex]x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\space k∈\mathbb{Z}[/tex] duotasis reiškinys įgyja mažiausią reikšmę ir ji lygi: [tex]a(-1)+b(0)+c(0)=-4+(-3)+(-2)=-9.[/tex]

Ačiū už įdėjas, šiaip uždavinys yra iš trigonometrijos kurso temos, kur jokių išvestinių taikyti negalima, keista, kad jis ten, matyt, prašoma spėjimo taktikos. Bet taip išvestinės šiuo atveju geriausias būdas rasti minimumą, tuo labiau jei būtų prašoma ir visos reikšmių srities nustatymo.