Rasti motociklo greitį (judėjimo uždavinys 11Kl)

Kiek sedžiu prie šito uždavinio ir vis nesugalvoju sprendinio... (11Kl. A lygio papildomas uždavinys)

Iš Vilniaus ir Kauno vienas prieš kitą išvyko motociklininkas ir dviratininkas. Važiuodami pastoviais greičiais jie susitiko po 45min. Per kiek laiko motociklininkas nuvyko į Kauną, jeigu jis kelionėje užtruko dviem valandomis mažiau negu dviratininkas nuvykdamas iš Kauno į Vilnių?

Inigo Montoya
Tai ar motociklo greitį rasti ar kiek laiko anas važiavo? Žymėjimai tokie bus pas mani:
v_m - motociklininko greitis
v_d - dviratininko greitis
t - 45 minutės, arba 3/4 valandos
T - motociklininko kelionėje sugaištas laikas (tai ko prašo sąlyga)
t_d - dviratininko kelionėje sugaištas laikas.
d - 2 valandos (tos, kurias dviratis ilgiau važiavo)
s - atstumas tarp Vilniaus ir Kauno

Parašysiu tris būdus. Nors iš esmės tai turbūt vienas ir tas pats būdas, siūlau aklai nenusirašinėt, bo klaidų būsiu privėlęs.

1.

Kai abu susitiko, jų abiejų nueitų kelių suma turi būti lygi s:
v_d*t + v_m*t = s
Tai kad dviratininkas užtruko ilgiau gali užrašyti taip (nueitas kelias dalinta iš greičio yra laikas):
s/v_d - s/v_m = d
Perrašai gražiau:
s*[1/v_d - 1/v_m] = d
Kam lygus s, nelabai svarbu (jei labai knieti gali įrašyti vietoje s 100 km), o šiaip jo skaitinė vertė priklauso tik nuo to kokiais vienetais atstumą matuosi, kadangi sąlygoje prašo laiko, kuris bus santykis s/v_m, tai nesvarbu kokia ta s skaitinė reikšmė. Tad gali s paimti lygų vienam, tiesiog paprastumo dėlei. Tuomet turėsi dvi lygtis:
(v_d + v_m)*t = 1
1/v_d - 1/v_m = d
iš pirmos išreiški v_d ir įstatęs į antrąją gauni lygtį su vienu nežinomuoju, kurią perrašai kaip kvadratinę lygtį ir randi v_m. Laikas per kurį nuvažiavo:
T = s/v_m = 1/v_m
T = 1 val.

2.

Tą pačia pirmą lygtį:
v_d*t + v_m*t = (v_d + v_m)*t = s
gali šiak tiek pakutenti ir padauginti abi puses iš 1/v_m, ką gausi yra:
(v_d/v_m + 1)*t = s/v_m = T {s/v_m ir yra ieškomas laikas T}
kad aiškiau būtų, pažymėsiu greičių santykį k raide, t.y.: k = v_d/v_m, gausis:
k + 1 = T/t
gali tik tikėtis išreikšti k iš antros lygties:
s*[1/v_d - 1/v_m] = d
galima pamėginti:
1/v_d - 1/v_m = d/s
Subendravardiklinam:
(v_m - v_d) / (v_m * v_d) = d/s
Abi lygties puses padauginam iš v_m ir įmantriai užrašome dešiniąją pusę:
(v_m - v_d) / v_d = d / (s/v_m) = d / T
Kairiąją vėl šiek tiek pakutenam:
v_m/v_d - 1 = 1/k - 1 = d / T
Iš šitos lygties išreiški k ir įstatai į k + 1 = T/t (arba atvirkščiai). Biški pasikuitęs gausi kvadratinę lygtį, kurios vienas sprendinių vėlgi bus T = 1 val.

3.
Na ir gali dar pasipaišyti paveikslėlį

Peckelynė gavos, gal kas ir pasimatys. Horizontali ašis laikas, valandomis. Svarbiausi taškai 3/4 valandos kuomet abu susitinka, laikas kuomet dviratinkas pasiekia vilnių ir laikas kada motociklininkas pasiekia kauną. Vertikali ašis x, atstumas tiesiog, pažymėti vilnius (mėlyna) ir kaunas (raunona). dviratininko judėjimo grafikas (x,t) - raudona spalva, motociklininko - mėlyna. Ties laikas=3/4 abi tiesės susikerta. Nuo taško kur mėlyna tiesė kirs x=Kns, raudona tiesė kirs x=Vln dviem valandom į dešinę. Iš paveikslėlio tikiuosi matosi kad:
motociklininko padėtis x ašyje = s - s/T * laikas
dviratininko padėtis x ašyje = s/t_d * laikas
ir kad t_d = T + 2. Susikirtimo taške laikas=3/4=t, o abiejų padėtys lygios. Gaunasi:
s - s/T * t = s/(T + 2) * t
s nereikalingas:
1 - t/T = t/(T + 2)

Dėkoju

nick'ą pasikeisi? ;]