rasti tan[acos(sin(x))]

užduotis yra rasti tan[acos(sin(x))]. Aš ištiesų nelabai žinau ką čia daryt ;] vienintelis dalykas ką sugalvojau tai rasti išvestinę:
[math]{d/dx}(acos(sinx))=-{cosx}/{\sqrt{1-sin^2x}}=-1[/math]
ir tada šitą gautą išvestinę suintegruot:
∫-1dx=-x+C
taigi pagal mane gaunasi kad acos(sin(x))=-x+C ;] kad rasti C paimu x=0, sin(0)=0, o acos(0)=pi/2. tad
acos(sin(x))=-x+pi/2.
dabar jeigu nusipiešti tokį trikampį:

iš jo lyg ir matosi kad acos(sin(x))=-x+pi/2=y. Ir tan[acos(sin(x))] = tan(y)=cos(x)/sin(x)=ctg(x).
tai kaži čia teisingai ar nelabai?

Iš esmės teisingai darai, tik galima šiek tiek paprasčiau (ir dar reikia atkreipti dėmesį į vieną smulkmeną).

Svarbu žinoti, kad acos įgyja ne visas realias reikšmes, o tik reikšmes iš tam tikro intervalo. Aš naudosiu sutarimą, kad 0 ≤ acos(x) ≤ π (man atrodo, čia yra vienintelis bendras sutarimas; visgi jei kas nors naudoja kitokį, gali reikti šiek tiek pakoreguoti sprendimą).

sin(x) = cos(π/2 - x) su visais x. Taigi acos(sin(x)) = acos(cos(π/2 - x)).

Nagrinėkime x iš [-π/2, π/2]. Tuomet tan(acos(sin(x))) = tan(π/2 - x) = cot(x) (nes 0 ≤ π/2 - x ≤ π).

Nagrinėkime x iš [π/2, 3π/2]. Tuomet tan(acos(sin(x))) = tan(x - π/2) = -cot(x) (nes 0 ≤ x - π/2 ≤ π ir cos(π/2 - x) = cos(x - π/2)).

Taigi atsakymas
tan(acos(sin(x))) =
cot(x), jei -π/2 + 2kπ ≤ x ≤ π/2 + 2kπ,
-cot(x), jei π/2 + 2kπ ≤ x ≤ 3π/2 + 2kπ,
kur k sveikas skaičius.

Dėl smagumo galima užrašyti trumpiau:
tan(acos(sin(x))) = (-1)^n cot(x),
kai n yra toks sveikas skaičius, kad -π/2 + nπ ≤ x ≤ π/2 + nπ (t.y. n = [x/π + 1/2], čia [r] - sveikoji r dalis),

arba net
tan(acos(sin(x))) = (-1)^[x/π + 1/2] cot(x).

Dėkui