Reikalinga pagalba del keliu dif lygciu

Visiskai nesuprantu sito brudo, o dave sprest...Gal kas parodytumet kaip cia viskas vyksta su sitais uzdavinukais?:)
1.y'+3y/x=2x/x³
2.2x²y'-4xy=y²
3.y''-4y'+5y=(10x+4)e(virsuj -x)
4.y''-2y'=2x²-2x+1

Noriu pasitikslinti dėl pirmų trijų uždavinių sąlygų.

1. Kas ten dešinėje pusėje?
2. Ar nenorėjai parašyti 2x²y' - 4xy = x²?
3. Ar kairė pusė neturėtų būti y" - 5y' + 4y?
4.

y" - 2y' = 2x² - 2x + 1.

Lygtis tiesinė, todėl turi du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Juos tereikia atspėti. Tam nagrinėsime lygtį

y" - 2y' = 0.

Lengva pastebėti, kad sprendiniai y = const. ir y = e^(2x) tinka. Belieka atspėti bent vieną konkretų y" - 2y' = 2x² - 2x + 1 sprendinį. Mėginame y = ax³ + bx² + cx. Turime

6ax + 2b - 6ax² - 4bx - 2c = 2x² - 2x + 1

a = -1/3
b = 0
c = -1/2

Taigi y = -x³/3 - x/2 yra sprendinys. Pridėję anksčiau rastus sprendinius gauname, kad bendras sprendinys yra

y = -x³/3 - x/2 + Ae^(2x) + B.

Dekui uz sprendini :)
O del salygu..jas teisingai uzrasiau :)

1. Na, dešinėje pusėje turime 2x / x³ = 2 / x² (kokia prasmė duoti taip?). Ką gi, sprendžiame:

y' + 3y/x  = 2/x².

Lygtis tiesinė ir pirmo laipsnio, todėl turi vieną tiesiškai nepriklausomą sprendinį. Spėjame konkretų sprendinį. Bandome y = c x^k:

ck x^(k-1) + 3c x^(k-1) = 2/x²
k = -1, c = 1

y = 1/x tinka.

Spėjame papildomą sprendinį (t.y. tokį, kuris sprendžia y' + 3y/x = 0). Bandome y = x^b:

b x^(b-1) + 3 x^(b-1) = 0
b = -3.

Taigi bendras sprendinys yra y = a/x³ + 1/x.

2. Lygtis nėra tiesinė (nes turime narį y²), todėl nepakaks spėlioti. Turime

2x²y' - 4xy = y²
2x²y' = y² + 4xy = (y + 2x)² - 4x²
2x²(y' + 2) = (y + 2x)²
2x²(y + 2x)' = (y + 2x)²  (nepamirškime, kad f' = df/dx)
2x² u' = u²,            kur u(x) = y(x) + 2x
u' / u² = 1/(2x²)
∫ du / u² = ∫ dx / (2x²)
-1/u = -1/(2x) + C      (C bet kokia konstanta)
u = 2x / (1 - 2Cx) = 2x / (1 + Dx)      (pasižymime D = -2C, taigi D irgi bet kokia konstanta).

Taigi

y = u - 2x = 2x * (1/(1 + Dx) - 1) = -2Dx² / (1 + Dx).

3. y" - 4y' + 5y = (10x + 4)e^(-x)

Lygtis tiesinė antro laipsnio, todėl bus du tiesiškai nepriklausomi sprendiniai. Taigi pirma raskime du papildomus sprendinius (t.y. tokius, kurie tenkina y" - 4y' + 5y = 0). Spėkime y = e^(2x) cos x:

(e^(2x) cos x)" - 4 (e^(2x) cos x)' + 5 e^(2x) cos x
= 4 e^(2x) cos x - 4 e^(2x) sin x - e^(2x) cos x - 8 e^(2x) cos x + 4 e^(2x) sin x + 5 e^(2x) cos x
= 0,

taigi mūsų spėjimas buvo kaip pirštu į akį. Spėkime y = e^(2x) sin x:

(e^(2x) sin x)" - 4 (e^(2x) sin x)' + 5 e^(2x) sin x
= 4 e^(2x) sin x + 4 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x - 8 e^(2x) sin x - 4 e^(2x) cos x + 5 e^(2x) sin x
= 0,

taigi antrasis spėjimas buvo ne ką blogesnis.

Dabar raskime konkretų sprendinį lygčiai y" - 4y' + 5y = (10x + 4) e^(-x). Spėkime y = (ax + b) e^(-x):

-2a e^(-x) + (ax + b) e^(-x) - 4a e^(-x) + 4 (ax + b) e^(-x) + 5(ax + b) e^(-x) = (10x + 4) e^(-x)

a + 4a + 5a = 10
-2a + b - 4a + 4b + 5b = 4

a = 1
b = 1.

Taigi y = (x + 1) e^(-x) yra konkretus sprendinys. Bendras sprendinys yra

y = (x + 1) e^(-x) + (a cos x + b sin x) e^(2x).

Buk palaimintas zmogau :)
ACIU!