eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Riba


[math]lim{{x}right{0+}}{(x^x-1)lnx}[/math]

Gerai žinomas faktas: kai k natūralus skaičius, tai [math]lim{x{right}0+}x(log{x})^k=0[/math] Naudosime atvejį k = 2. Pagal apibrėžimą [math](x^x-1)log{x}=(e^{x{log}x}-1)log{x}=(1+x{log}x+{(x{log}x)^2}/{2!}+...-1){log}x[/math][math]{=}x(log{x})^2+{x^2({log}x)^3}/{2!}+...=f(x)[/math] Nagrinėkime intervalą 0<x<1/e. Aišku, kad f(x) > 0 šiame intervale. Iš kitos pusės, [math]f(x){le}x(log{x})^2+{(x(log{x})^2)^2}/{2!}+{(x(log{x})^2)^3}/{3!}+...=e^{x(log{x})^2}-1[/math] Remiantis anksčiau minėtu faktu, [math]forall{eta}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~x(log{x})^2<eta[/math] Kadangi e^y yra tolydi funkcija, tai reiškia [math]forall{epsilon}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~e^{x(log{x})^2}-1<epsilon[/math] Jei nepatinka teiginys apie e^y tolydumą, galima tiesiog parinkti [math]eta=log(1+epsilon)[/math] ir taikyti ankstesnę eilutę.

Taigi išsiaiškinome, kad
[math]forall{epsilon}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~0<f(x){le}epsilon[/math]
Tai reiškia, jog [math]lim{x{right}0+}f(x)=0[/math]

Dar galima naudoti keitinį y = log x ir skaičiuoti ribą, kai y -> -∞. Labai daug kas nepasikeis, bet vietoje logaritmų bus laipsnio funkcijos, kurios kiek geriau pažįstamos.

Super!
Bet nejaugi nėra jokio kito būdo išspręnti šiam uždaviniui tiesiog seka veiksmų, naudojantis įvairiomis taisyklėmis, ten Laplaso teorema ir pan? Nors gal ir nėra.
Ačiū.

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »