Gerai žinomas faktas: kai k natūralus skaičius, tai [math]lim{x{right}0+}x(log{x})^k=0[/math] Naudosime atvejį k = 2. Pagal apibrėžimą [math](x^x-1)log{x}=(e^{x{log}x}-1)log{x}=(1+x{log}x+{(x{log}x)^2}/{2!}+...-1){log}x[/math][math]{=}x(log{x})^2+{x^2({log}x)^3}/{2!}+...=f(x)[/math] Nagrinėkime intervalą 0<x<1/e. Aišku, kad f(x) > 0 šiame intervale. Iš kitos pusės, [math]f(x){le}x(log{x})^2+{(x(log{x})^2)^2}/{2!}+{(x(log{x})^2)^3}/{3!}+...=e^{x(log{x})^2}-1[/math] Remiantis anksčiau minėtu faktu, [math]forall{eta}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~x(log{x})^2<eta[/math] Kadangi e^y yra tolydi funkcija, tai reiškia [math]forall{epsilon}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~e^{x(log{x})^2}-1<epsilon[/math] Jei nepatinka teiginys apie e^y tolydumą, galima tiesiog parinkti [math]eta=log(1+epsilon)[/math] ir taikyti ankstesnę eilutę.
Taigi išsiaiškinome, kad [math]forall{epsilon}>0~exists{delta}>0:~forall{0<x<delta}~0<f(x){le}epsilon[/math] Tai reiškia, jog [math]lim{x{right}0+}f(x)=0[/math]
AncientMariner +411
Dar galima naudoti keitinį y = log x ir skaičiuoti ribą, kai y -> -∞. Labai daug kas nepasikeis, bet vietoje logaritmų bus laipsnio funkcijos, kurios kiek geriau pažįstamos.
Rimante +268
Super! Bet nejaugi nėra jokio kito būdo išspręnti šiam uždaviniui tiesiog seka veiksmų, naudojantis įvairiomis taisyklėmis, ten Laplaso teorema ir pan? Nors gal ir nėra. Ačiū.