Ribos su kosinusais skaičiavimas , kai x artėja į 0

Nedidelis uždavinukas, bet nežinau, kaip įveikti

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos3x}{2-\sqrt{3+cos^2x}}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos3x}{2-\sqrt{3+\cos^2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos3x)(2+\sqrt{3+\cos^2x})}{\sin^2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2(1-\cos3x)(2+\sqrt{3+\cos^2x})}{x^2\sin^2x}=[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos3x)(2+\sqrt{3+\cos^2x})}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{9}{2}(2+\sqrt{3+\cos^2x})=18[/tex]

ten trečioj vietoj x²/sin²x ekvivalentu vienetui?

Taip.

Supratau, ačiū už sprendimą

įdomu sužintoti dėl ko [tex]\frac{x^{2}}{sin^{2}x}=1[/tex] :)

Kad [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1[/tex] neirodinesiu. Kad [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{\sin^2 x}=1[/tex] tai cia paprasta irodyt. Kadangi isorine funkcija x^2 yra tolydi, tai duota riba galiu uzrasyt taip: [tex](\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x})^2[/tex]. Toliau  [tex](\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\sin x}{x}})^2 \Rightarrow (\frac{\lim_{x\rightarrow 0} 1}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}})^2= (\frac{1}{1})^2=1[/tex].