Ribos

t0mas

skaiciu dalijant is 0 gaunama begalybe? Kokia cia taisykle?

Galbūt taip (rašysiu lim vietoje lim_{x->-1}, lim+ vietoje lim_{x->-1+}, lim- vietoje lim_{x->-1-}).

1. lim |x³/(1-x²)| = ∞.
2. Kai -1 < x < 0, x³/(1-x²) < 0, todėl lim+ x³/(1-x²) = -∞ (naudojant 1).
3. Kai x < -1, x³/(1-x²) > 0, todėl lim- x³/(1-x²) = ∞ (naudojant 1).


Aišku, tokie uždaviniai yra subtilūs tuo, kad nėra aišku, kokio sudėtingumo faktus galima nutylėti, laikant juos akivaizdžiais. Tai, žinoma, priklauso nuo tikrinančio dėstytojo, nuo to, kaip užtikrintai jautiesi, ir kaip sugebi įtiktinti dėstytoją, kad jautiesi užtikrintai :D Jei nori būti visiškai tikras, gali išrašyti visas detales, pradėdamas nuo ribos apibrėžimo (šitam uždaviniui netruktų labai ilgai).

1. Parodysime, kad lim+ x³/(1-x²) = -∞. Tegul B < 0. Tarkime, kad -1 < x < -1 + e, kur e = min{1/2, -1/(8B)} > 0. Tuomet x³ < -1/8 ir -1 < x < 0, taigi x² < -x ir 0 < 1 - x² < 1 + x < -1/(8B), todėl x³/(1-x²) < B.

2. Parodysime, kad lim- x³/(1-x²) = ∞. Tegul B > 0. Tarkime, kad -1 - e < x < -1, kur e = min{1, 1/(3B)} > 0. Tuomet x³ < -1 ir -1 - e < x < -1, taigi x² < (1 + e)² = 1 + 2e + e² < 1 + 3e < 1 + 1/B ir 0 > 1 - x² > -1/B, todėl x³/(1-x²) > B.


Yra ir tarpinių variantų, pavyzdžiui, galima naudoti, kad sekų sandaugos riba yra sekų ribų sandauga ir visiškai pamiršti apie x³ (nes x³ -> -1, kai x -> -1).

Kaip kolis pavyko? Buvo sunkių uždavinių?

[tex]\lim_{x\to\0} \frac {\ln {\frac {1+x2^x} {1+x3^x}}} {x^2}=\lim_{x\to\0} \frac {\frac {1+x2^x} {1+x3^x}-1} {x^2}=\lim_{x\to\0} \frac {\frac {1+x2^x-1-x3^x} {1+x3^x}} {x^2}=[/tex]
[tex]=\lim_{x\to\0} \frac {x(2^x-3^x)} {x^2(1+x3^x)}=\lim_{x\to\0} \frac {2^x-3^x} {x}=\ln {\frac{2}{3}}[/tex]

Ar panašiai?