Ribos

Žiūrėkit, kaip tokią reikėtų išspręst?

      lim (ctgx) pakelta 2÷lnx
(x artėja į 0+)

Ačiū už pagalbą.

Pažymėkime [tex]f(x) = \cot(x)^{2/\ln(x)}[/tex] .

Kai [tex]x \in (0, \epsilon)[/tex], kur [tex]\epsilon > 0[/tex] mažas (pavyzdžiui, [tex]\epsilon = 1[/tex]), [tex]\cot(x) > 0[/tex] ir [tex]\ln(x) \in (-\infty, 0)[/tex], todėl [tex]f(x)[/tex] apibrėžta tame intervale ir [tex]f(x) = e^{2\ln(\cot(x)) / \ln(x)}[/tex] .

Kadangi [tex]e^x[/tex] yra tolydi funkcija, jei rastume [tex]\lim_{x \to 0^+}2\ln(\cot(x)) / \ln(x) = A[/tex], tai žinotume ir [tex]\lim_{x \to 0^+}f(x) = e^A[/tex].

Rasime [tex]A[/tex] panaudoję Lopitalio taisyklę. [tex]\ln(x) \to -\infty[/tex] ir [tex]\ln(\cot(x)) \to \infty[/tex], kai [tex]x \to 0[/tex], todėl skaičiuojame išvestines:

[tex]\ln'(x) = 1/x[/tex],

[tex] (\ln(\cot(x)))' = \cot'(x) / \cot(x) = -1 / (\sin(x) \cos(x))[/tex].

Taigi

[tex]A = \lim_{x \to 0^+}2\ln(\cot(x)) / \ln(x) \\
= \lim_{x \to 0^+}2(\ln(\cot(x)))' / \ln'(x) \\
= \lim_{x \to 0^+}-2x / (\sin(x) \cos(x))[/tex].

Kadangi [tex] cos(x) \to 1[/tex], kai [tex]x \to 0[/tex],

[tex]A = \lim_{x \to 0^+}-2x / \sin(x) \\
= -2[/tex].

Pati paskutinė eilutė galioja, nes [tex]x / \sin(x) \to 1[/tex], kai [tex]x \to 0[/tex]. Šitą galima tiesiog žinoti arba įrodyti dar kartą panaudojant Lopitalio taisyklę.

Taigi [tex]\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{-2}[/tex].