eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Rodiklinė funkcija, kurios rodiklis trigonometrinė funkcija


Duota : f(x)=(1/2)^sinx    1) Parodykite , kad f(-x)=1/f(x)    2) išsprękite lygtį f(x)=2    3)f'(x)=g(x)×(1/2)^sinx×ln(1/2)  Užrašykite g(x)  4)Funkcijos f(x) didėjimo intervalas yra nelygybės cosx×(1/2)^sinx×ln(1/2)>0  sprendinys. UŽrašykite funkcijos f(x) didėjimo intervalą.5) Apskaičiuokite funkcijos f(x)=(1/2)^sinx didžiausią reikšmę 6) Apskaičiuokite funkcijos f(x)=sinx×(1/2)^sinx reikšmių sritį

pakeista prieš 1 m

1) [tex]f(-x)=(\frac{1}{2})^{\sin(-x)}=(\frac{1}{2})^{-\sin x}=2^{\sin x}\\\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{\sin x}}=(\frac{1}{2})^{-\sin x}=2^{\sin x}\\f(-x)=\frac{1}{f(x)}[/tex]
2) [tex]f(x)=2\\(\frac{1}{2})^{\sin x}=2\implies 2^{-\sin x}=2^1\implies -\sin x=1\implies \sin x= -1\implies \\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \space k∈\mathbb{Z}[/tex]
3) [tex]f'(x)=(\frac{1}{2})^{\sin x}\cdot \ln(\frac{1}{2})\cdot \cos x\\ (\frac{1}{2})^{\sin x}\cdot \ln(\frac{1}{2})\cdot \cos x=g(x)\cdot (\frac{1}{2})^{\sin x}\cdot \ln(\frac{1}{2})\implies g(x)=\cos x[/tex]
4) [tex]\cos (x)\cdot (\frac{1}{2})^{\sin x}\cdot \ln(\frac{1}{2})>0\implies \cos (x)\cdot (\frac{1}{2})^{\sin x}<0\implies \cos x <0\implies \\x∈(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k),\space k∈\mathbb{Z}[/tex]
5) [tex]a(x)=(\frac{1}{2})^{x}[/tex], [tex]b(x)=\sin x[/tex], [tex]f(x)=a(b(x))[/tex]
Kadangi [tex]a(x)[/tex]-mažėjančioji funkcija, tai ji didžiausią reikšmę įgis ten, kur [tex]b(x)[/tex] įgis mažiausią reikšmę. Kadangi [tex]E(b)=[-1;1][/tex], tai funkcijos [tex]a(x)[/tex] (kaip ir [tex]f(x)[/tex]) didžiausia reikšmė yra: [tex]a(-1)=2.[/tex]
6) aš gal pataisyčiau sąlygą ir pavadinčiau funkciją nauju vardu: [tex]h(x)=\sin (x)\cdot (\frac{1}{2})^{\sin x} [/tex]. Pažymėkime [tex]t=\sin x[/tex], tada:
[tex]h(t)=t\cdot (\frac{1}{2})^t,\space -1≤t≤1[/tex]
[tex]h'(t)=(\frac{1}{2})^t+t\cdot (\frac{1}{2})^t\cdot \ln(\frac{1}{2})[/tex]
[tex](\frac{1}{2})^t\cdot \left(1+t\cdot\ln(\frac{1}{2}) \right)=0\implies t=-\frac{1}{\ln(\frac{1}{2})}=\frac{1}{\ln 2}\space (\textrm {nepriklauso apibrėžimo sričiai})[/tex]
[tex]h(-1)=(-1)\cdot (\frac{1}{2})^{-1}=-2\\h(1)=1\cdot (\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]E(h)=[-2;\frac{1}{2}][/tex]

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »