1) Kuris iš trijų pateiktų skaičių [tex]\sqrt[2n]{0,5^{2n-1}} ;[/tex] [tex]\sqrt[2n]{0,25^{4n+2}}[/tex][tex];[/tex][tex]\sqrt[2n]{2^{-2n-6}}[/tex] yra [tex]didžiausias[/tex] [tex],[/tex] kai [tex]n[/tex]≥[tex]3[/tex] 2) Kai [tex]0< x< 1[/tex] [tex],[/tex] tada Įrodykite , kad [tex]\log _2(x+4)> x[/tex]
pakeista prieš 1 m
Tomas PRO +4543
1) Kuris iš trijų pateiktų skaičių [tex]\sqrt[2n]{0,5^{2n-1}}; \sqrt[2n]{0,25^{4n+2}};\sqrt[2n]{2^{-2n-6}}[/tex] yra didžiausias , kai n≥3
Atsakymas: [tex]\sqrt[2n]{0,5^{2n-1}}[/tex]
pakeista prieš 1 m
Tomas PRO +4543
2) Kai [tex]0<x<1[/tex] , tada Įrodykite , kad [tex]\log_2(x+4)>x[/tex]
[tex]f(x)=\log_2(x+4)[/tex]-didėjanti funkcija, vadinasi, kai [tex]0<x<1[/tex], tai [tex]f(x)>f(0)=\log_2(0+4)=\log_2 4=2[/tex]. [tex]g(x)=x[/tex]-didėjanti funkcija, vadinasi, kai [tex]0<x<1[/tex], tai [tex]g(x)<g(1)=1[/tex]. Kai [tex]0<x<1[/tex], tai [tex]f(x)>2,\space g(x)<1[/tex], vadinasi: [tex]\log_2(x+4)>x.[/tex]
MykolasD PRO +2518
Sprendimas : [tex]0< x< 1[/tex] [tex];[/tex] [tex]4< x+4< 5[/tex] [tex];[/tex] [tex]\log _24[/tex][tex]< \log _2(x+4)[/tex][tex]<[/tex][tex]\log _25[/tex] [tex][/tex] [tex];[/tex] [tex][/tex][tex]2< \log _2(x+4)< \log _25[/tex] [tex], o [/tex] [tex]0< x< 1[/tex] [tex],[/tex] todėl [tex]\log _2(x+4)> x[/tex] [tex];[/tex] [tex]\log _25> \log _24[/tex] Galvoju , toks įrodymas irgi tinka
pakeista prieš 1 m
MykolasD PRO +2518
1) Šaknis pakeičiame laipsniais [tex]0,5^{\frac{2n-1}{2n}}[/tex] [tex] ; [/tex][tex]0,25^{\frac{4n+2}{2n}}[/tex][tex]=[/tex][tex]0,5^{\frac{2n+1}{2n}}[/tex] [tex];[/tex][tex]2^{\frac{-4n-6}{2n}}=[/tex][tex]0,5^{\frac{2n+3}{2n}}[/tex] [tex]\frac{2n-1}{2n}< \frac{2n+1}{2n}< \frac{2n+3}{2n}[/tex] ([tex]n\geq 3[/tex]) Funkcija [tex]f\left ( x \right )= a^{x} \left ( 0< a< 1\right )[/tex] yra [tex]mažėjanti[/tex] todėl [tex]didžiausias[/tex] skaičius yra [tex]\sqrt[2n]{0,5^{2n-1}}[/tex]
Tomas PRO +4543
Manyčiau maniškis antro sprendimas gal net kiek ir perteklinis. Jei įsirodom, kad: [tex]\log_2(x+4)>2[/tex], kai [tex]0<x<1[/tex], tai akivaizdu, jog tame intervale [tex]\log_2(x+4)>x[/tex].