Ruošiuosi egzaminui, reikia šiek tiek paaiškinti.

Sveiki,

Ruošiuosi egzamino perlaikymui. Noriu pabandyti pasispręsti vieną variantą, kuris buvo prieš tai. Tačiau atrodo, kad beveik nieko nesuprantu apart pirmosios užduoties. :( Gal būt kas galėtų paaiškint, bent jau 2 ir 3 užduotis, nes jų labiausiai nesuprantu.

Tu tingi normaliai pateikt užduotis , mes tingėsime tau spręsti.

Supratau. Man reikia padėti juos suprasti, galbūt nebūtina jų spręsti. Galiu pateikti viską normaliai. :)

2 UŽDUOTIS:

Kreivė l1 yra plokštumų -x-2y+3z=5 ir 2x-y+z=6 susikirtimas. Kreivė l2 yra plokštumų x+2y-3z=5 ir x+3y+4z=17 susikirtimas.

1. Įvardinkite kreives l1 ir l2 ir parašykite kurios nors iš jų kanoninio pavidalo lygtį.
2. Tiesinės algebros pagalba, išsiaiškinkite, ar kreivės l1 ir l2 kertasi tarpusavyje.


3 UŽDUOTIS:

1. Paaiškinkite sąvoką ir raskite funkcijos f(x,y)=e^(x/y) gradientą taške (0,1).
2. Kam lygi didžiausia dviejų skaičių sandauga, jei jų suma lygi π? Pagrįskite.

Būtų super, jei kas nors galėtų šiuos paaiškinti, man reikia esmės, kaip jie sprendžiasi. Būčiau labai dėkingas. Su viskuo kitu susitvarkysiu ir pats. :)

Ačiū. :)

2 užduotis.
Dviejų plokštumų, kurios nėra lygiagrečios, sankirta yra TIESĖ. Kad rastume jos kanonines lygtis, reikia rasti kokį nors vieną plokštumų lygčių sistemos sprendinį, ir tiesės lygiagretųjį vektorių ( plokštumų normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą).
Pirma tiesė:
Sistemos
-x - 2y +3z = 5
2x - y + z = 6
sprendinys, pavyzdžiui, A(0, -13, -7)
Plokštumų normalieji vektoriai n=(-1, -2, 3) ir  m = (2, -1, 1).
Jų vektorinė sandauga nхm=( 1, 7, 5).
Todėl pirmos kreivės (tiesės) kanoninės lygtys yra
x/1 = (y+13)/7 = (z + 7) /5.
Analogiškai randame antros tiesės tašką, pavyzdžiui, B(-19, 12, 0) ir lygiagretųjį vektorių  (17, -7, 1).
Antros tiesės kanoninės lygtys yra:
(x +19)/ 17 = (y - 12) / (-7) = z/1.
Jei tiesių lygiagretieji vektoriai yra s ir f, o šių tiesių taškų spinduliai-vektoriai yra a ir b, tai tiesės kertasi, jei tik vektoriai s ir f yra tiesiškai nepriklausomi ( tiesės nėra lygiagrečios), o vektorių sistema
{ s,  f,  (a - b)} yra tiesiškai priklausoma.
Pas mus s =(1, 7, 5),  f= (17, -7, 1), a=(0, -13, -7), b=(-19, 12, 0)
(a- b) = (19, -25, -7).
Vektorių s, f, (a-b) sistema yra tiesiškai-nepriklausoma.  Tai rodo iš šių vektorių koordinatinių eilučių sudaryto trečios eilės determinanto nelygumas nuliui. Taigi, tiesės nesusikerta.

3 UŽDUOTIS
Dviejų kintamųjų funkcijos f(x, y) gradientu yra vadinamas dvimatės erdvės vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos f(x,y) dalinės išvestinės pagal x, ir pagal y, apskaičiuotos nurodytame taške.
Gradiento kryptis rodo kryptį, kuria funkcijos kitimo greitis ( kryptinė išvestinė ta kryptimi) yra didžiausias. Gradiento ilgis lygus  didžiausiai kryptinės išvestinės (duotame taške) reikšmei.
Pas mus: Dalinė išvestinė pagal x yra e^(x/y) / y, jos reikšmė taške A(0, 1) lygi 1.
Dalinė išvestinė pagal y yra ( - x/y²)*e^(x/y).  Taške A ji lygi 0.
Taigi, gradf(x, y)= ( 1, 0).
Paskutinis uždavinys labai paprastas:
Jei x+y= m, ( m- duotas skaičius, gali būt ir pi), tai
sandauga S(x, y) = xy bus didžiausia, jei tik funkcija f(x) = x(m-x)
įgys maksimumą.
Funkcijos f(x) išvestinė m- 2x lygi nuliui, kai x=m/2.
Taigi, x=y= m/2,  max(xy) = m²/4.