Ruoškimės baigiamajam matematikos egzaminui, kol ne vėlu! (3)

1.  Į apskritimą įbrėžtas lygiakraštis trikampis, kurio kraštinės ilgis lygus 12.
M-tam tikras plokštumos taškas. Atstumas nuo taško M iki apskritimo centro lygus 25.
Apskaičiuokite atstumų nuo taško M iki trikampio viršūnių KVADRATŲ sumą.

2. 
2.1.  Įrodykite teoremą:  Lygiašonio trikampio ABC (CA=CB=b) pagrinde AB pasirinktas taškas N.
Tuomet [tex]NA\cdot NB=b^{2}-CN^{2}[/tex]
2.2. Apskritimo stygos AB ir KL kertasi taške N. 
AN= 6, NB=4, KN=8. Apskaičiuokite atkarpos LN ilgį.

Ar pirmo atsakymas 1985 ??

Ne, 2019.

OM = R = 25
AB = BC = AC = 12
-----------------
AM² + BM² + CM² = ?

Sprendimas:
Pasirenku patogią M poziciją (dar neblogos M2, M1, žr. brėžinį)
1) AK² = AB² - KB² = 144 - 36 = 108 = 2*2*3*3*3
2) OK = 1/3 * √AK² = 1/3 * 2*3 * √3 = 2√3
3) OA = r = 2OK = 4√3
4) AM2 = (OA + OM)² = (4√3 + 25)² = 16*3 + 2*4*25*√3 + 625 = 673 + 200√3
5) KB = 1/2 * CB = 6
6) BM = CM
7) BM² = KM² + KB² = (OM - OK)² + 36 = 625 - 2*25*2√3 + 4*3 + 36 = 673 - 100√3
8) AM2 + BM2 + CM2 = 673 + 200√3 + 673 - 100√3 + 673 - 100√3 = 3 * 673 = 2019

-----------------

Man čia pasirodė įdomiausia ne pats apskaičiavimas, o tai kad pagal tokią sąlygos formuluotę AM² + BM² + CM² turėtų būti konstanta, t.y. priklausytų tik nuo R ir AB.
Kažkaip neatgaminau tokios savybės.

Įrodymas panaudojant kosinusų teoremą
∠X = ∠AOMx
AMx² = r² + R² - rRcos(X)
BMx² = r² + R² - rRcos(2π/3-X)
CMx² = r² + R² - rRcos(2π-2π/3-X) = r² + R² - rRcos(4π/3-X)

AMx² + BMx² + CMx²
= r² + R² - rRcos(X)
+ r² + R² - rRcos(2π/3-X)
+ r² + R² - rRcos(4π/3-X)
= 3(r²+R²) - rR(cos(X) + cos(2π/3-X) + cos(4π/3-X))

Tam, kad toks reiškinys būtų konstanta dalis su X turi būti konstanta

cos(X) + cos(2π/3-X) + cos(4π/3-X)
= cos(X)
+ cos(2π/3)cos(X) + sin(2π/3)sin(X)
+ cos(4π/3)cos(X) + sin(4π/3)sin(X)
= cos(X)(1 - 1/2 - 1/2)
+ sin(X)(√3/2 - √3/2)
= cos(X)*0
+ sin(X)*0
= 0



-----------------------

Įdomu ar teisingas teiginys:
"Atstumų nuo bet kokio taisyklingo iškiliojo daugiakampio viršūnių iki pasirinkto taško apskritime, kuris koncentrinis aplink tokį daugiakampį apibrėžtam apskritimui, kvadratų suma, lygi tokių apskritimų spindulių kvadratų sumai padaugintai iš daugiakampio viršūnių skaičiaus."

Tavo klausimo atsakymas čia: https://www.ematematikas.lt/forumas/matematikos-maratonas-nr-3-t11093-38.html