Ruoškimės matematikos egzaminui kol ne vėlu (4)

Duota funkcija:
[tex]f(x)=sinx+cosx+sinxcosx.[/tex]
a) Išspręskite lygtį
[tex]f(x)=1.[/tex]
b) Raskite šios funkcijos reikšmių sritį.

Čia  Olimpiadinis ?

PATARIMAS:
Pakeiskite kintamąjį
[tex]t=sinx+cosx\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}][/tex]
ir tirkite funkciją
[tex]f(t)=t+\frac{t^{2}-1}{2}[/tex]
intervale [tex]t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}][/tex]

Pirmame gaunu 2πn, π/2 +2πn, n∈Z. Antrame nuo -1 iki (1/2 +√2) imtinai.

Teisingai

1)[tex]sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)=1[/tex]
[tex]2sin(x)+2cos(x)+2sin(x)cos(x)=2[/tex]
[tex]2(sin(x)+cos(x))+sin(2x)=2[/tex]
[tex]2(sin(x)+cos(x))=2-sin(2x)[/tex]
[tex]4(sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+cos^2(x))=4-4sin(2x)+sin^2(2x)[/tex]
[tex]4(1+sin(2x))=4-4sin(2x)+sin^2(2x)[/tex]
[tex]4+4sin(2x)=4-4sin(2x)+sin^2(2x)[/tex]
[tex]sin^2(2x)-8sin(2x)=0[/tex]
[tex]sin(2x)(sin(2x)-8)=0[/tex]
[tex]sin(2x)=8 \rightarrow x∉\mathbb{R}[/tex]
[tex]sin(2x)=0[/tex]
[tex]x=\frac{\pi k}{2},k∈\mathbb{Z}[/tex]
Ar čia teisingai?
2) Galite paaiškinti kaip spręsti?

Jei keli lygties abi puses kvadratu, turi patikrint sprendinius, arba juos atrinkti pagal nelygybę  sinx + cosx≥ 0.
Iš tavo pateiktos sprendinių aibės tinka tik 2pi)k arba (pi)/2 + 2(pi)k.
Kaip spręst antrą dalį, parašiau patarime.