Rutulys ir jame įbrėžtas kūgis. Rasti tūrį.

Į rutulį, kurio spindulys R, įbrėžtas didžiausio tūrio ritinys. Raskite jo tūrį.
Nežinau kaip spręst

Taip, klaidą padariau, nes kūgio tūrį pradėjau skaičiuoti :/

Kūgio sudaromoji lygi [tex]l=\sqrt{x^2+r^2}[/tex]

Nagrinėdami apskritimą ir į jį įbrėžtą trikampį galime parašyti, kad:
[tex]R=\dfrac{l\cdot l\cdot 2r}{4S_Δ}[/tex]
[tex]S_Δ=\dfrac{2rx}{2}=rx[/tex]
Vadinasi:
[tex]R=\dfrac{2rl^2}{4rx}=\dfrac{l^2}{2x}=\dfrac{x^2+r^2}{2x}[/tex]
Iš čia:
[tex]r^2=2xR-x^2[/tex]
Kūgio tūris lygus:
[tex]V_k(x)=\dfrac{1}{3}πr^2x=\dfrac{1}{3}π(2xR-x^2)x=\dfrac{2}{3}πRx^2-\dfrac{1}{3}πx^3[/tex]
[tex]V_k'(x)=\dfrac{4}{3}πRx-πx^2=0\implies πx(\dfrac{4}{3}R-x)=0\implies x=0, x=\dfrac{4}{3}R[/tex]
Tikriname išvestinės ženklą intervaluose [tex]x∈(0;\dfrac{4}{3}R)[/tex] ir [tex]x∈(\dfrac{4}{3}R;2R)[/tex] ir gauname, jog didžiausią reikšmę funkcija įgyja taške [tex]x=\dfrac{4}{3}R[/tex]
Tuomet didžiausias galimas tūris lygus: [tex]V_k(\dfrac{4}{3}R)=\dfrac{2}{3}πR(\dfrac{4}{3}R)^2-\dfrac{1}{3}π(\dfrac{4}{3}R)^3=\dfrac{32}{81}πR^3[/tex]

Dėkui :)