Įskaitai gauti studentas turi atsakyt ne mažiau kaip į 2 iš 3 pateiktų klausimų. a) Kokia tikimybė, kad studentas gaus įskaitą, jeigu iš 12 pateiktų pasiruošimui klausimų jis išmoko tik 7? b) Tarkime, studentas gavo įskaitą. Tai reiškia, kad jis atsakė arba į visus 3 pateiktus klausimus, arba tik į 2 iš jų. Kuri iš šių prielaidų yra labiau tikėtina?
Tomas (+4567)
a) daliai taikome Pilnosios tikimybės formulę. Suformuluojame įvykį A - "gaus įskaitą" Tada suformuluojame 4 hipotezes. Jas bendru atveju apsirašome taip: H_n - "atsakė į n klausimų" , čia n kinta nuo 0 iki 3. Tada paskaičiuojame hipotezių tikimybes ( C(m,n) - derinys iš n po m) : P(H_1) = ( C(1,7)*C(2,5) )/ C(3,12) = (7*5*4/2)/(12*11*10/6) = 14/44 P(H_2) = ( C(2,7)*C(1,5) )/ C(3,12) = (5*7*6/2)/(12*11*10/6) = 21/44 P(H_3) = ( C(3,7)*C(0,5) )/ C(3,12) = (1*7*6*5/6)/(12*11*10/6) = 7/44 P(H_0) = ( C(0,7)*C(3,5) )/ C(3,12) = 1/(1*5*4*3/6) = 2/44
Sudėję visų hipotezių tikimybes gauname 1 (vadinasi viskas gerai) Tada paskaičiuojame įvykio A sąlygines tikimybes: P(A| H_1) = P(A| H_0) = 0, kadangi, kai įvyks hipotezės H_1 ir H_0 tai įvykis A įvykti negalės (negalimas įvykis) P(A| H_2) = P(A| H_3) = 1, kadangi, kai įvyks hipotezės H_2 ir H_3 tai įvykis A tikrai įvyks (būtinas įvykis) Taikome pilnosios tikimybės formulę: P(A) = P(H_0)*P(A|H_0) +P(H_1)*P(A|H_1) +P(H_2)*P(A|H_2) +P(H_3)*P(A|H_3) = 2/44 * 0 + 14/44 * 0 + 21/44 *1 + 7/44 *1 = 28/44 = 7/11
Galima trumpiau: a) Įvykis A- atsakė ne mažiau dviejų klausimų. Įvykis B- atsakė tik du klausimus. Įvykis C- atsakė visus tris klausimus. P(B) = C(7,2) C(5,1) / C(12, 3) = 21/44. P(C) = C(7,3)/C(12,3) = 7/44 P(A) = P(B) + P(C) = 28/44 = 7/11.
b) Kadangi prašo tik palygint sąlygines tikimybes P(B/A) bei P(C/A), tuo tarpu P(A/B) = P(A/C) = 1, tai pakanka palyginti P(B) ir P(C). P(B) > P(C), tad P(B/A) > P(C/A).