Sekos su riba

Remdamiesi sekos ribos apibrezimu, irodykite kad lim Xn=a (n arteja i begalybe). Duotam epsilion (arba E) rasti ji atitinkanti N.

a) Xn=10-n²/n    , a=  -∞  , E= 100


b) Xn= n-n³      , a=  -∞ ,  E=100

Taip pat

lim_{n->∞} a_n = ∞, jei kiekvienam e yra toks N, kad a_n > e su visais n > N,
lim_{n->∞} a_n = -∞, jei kiekvienam e yra toks N, kad a_n < e su visais n < N.

Šie pratęsti apibrėžimai yra natūralūs dirbant kiek bendresniame kontekste (kuris leidžia nagrinėti ne tik realiųjų ar kompleksinių skaičių, bet ir daug abstraktesnių objektų sekas), kuriame yra tik vienas ribos apibrėžimas, tinkantis ir baigtinėms, ir begalinėms riboms.

Grįžtant prie šio uždavinio, parodykime, kad lim_{n->∞} (10 - n²)/n = -∞. Tarkime, kad mums duotas e ir turime rasti N, kad (10 - n²)/n < e su visais n > N. Žinome, kad (10 - n²)/n = 10/n - n ≤ 10 - n, todėl jei parinksime N = -e + 10, tai visi n > N tenkins (10 - n²)/n ≤ 10 - n < 10 - N = e, kaip ir reikia.

Antrą uždavinį galima išspręsti labai panašiai.

pas mane yra  kad jei lim Xn= -∞(n→∞) tai visi E>0, egzistuoja N(E) priklauso N, kad Xn< -E, bet kaip reikia ta lygti susidarius isprest ja :)

Mhm, čia yra lygiai ta pati sąlyga (tik aš vietoje -E naudoju e ir nepridedu papildomų reikalavimų, kad E > 0 ir N yra natūrinis, kurios iš tikro nieko nereiškia).

Ankstesnį sprendimą galima labai greitai pritaikyti šiai sąlygai. Sakykime, kad mums duotas E > 0.
Mums reikia rasti tokį natūrinį N(E) (toks užrašymas tik primena, kad N priklauso nuo E, - jei nori, gali rašyti tiesiog N), kad a_n < -E su visais n > N(E). Dabar tereikia parodyti, koks N(E) gali būti, t.y. mums nereikia rasti mažiausio galimo N(E), bet tik po vieną reikšmę kiekvienam E.

Mums reikia 10/n - n < -E. Pastebėkime, kad 10/n ≤ 10 su visais natūriniais n. Taigi jei kažkoks n tenkina 10 - n < -E, jis tikrai tenkina ir 10/n - n < -E. O n tenkina 10 - n < -E, jei n > E + 10. Taigi, jei parinksime N(E) taip, kad N(E) ≥ E + 10, tai visi n > N(E) tenkins 10/n - n < -E. Pakanka pasirinkti N(E) = [E] + 11, kur [E] yra sveikoji E dalis.

Noriu pasikartoti, kad su kai kuriomis E reikšmėmis galėtume naudoti ir mažesnius N(E) nei [E] + 11, tačiau neprivalome to daryti - svarbu rasti kažkokį veikiantį N(E).


Tik dabar pastebėjau, kad duota ir E = 100 :) Na, tai galime įsistatyti N(100) = [100] + 11 ir gauti 111. Aname sprendime galima visur pakeisti E į 100 ir viskas veiks.