sistema

kas padesit is anksto aciu

reikia isspresti sistema:
x²+(y-3)²=16
(x-8)²+y²=25

as galvojau galbut x² taip isreiksti x²=(4-(y-3))(4+(y-3))

Bet nzn kaip toliau

Mano manymu, patogiausia šį uždavinį spręsti geometriškai, bet tam reikia mokėti šiek tiek kompleksinės geometrijos.

Pažymėkime z = x + iy. Tuomet Pradinės lygtys tampa

|z - 3i|² = 16
|z - 8|² = 25.

Taigi z yra susikirtimo taškas dviejų apskritimų: vieno iš jų centras yra 3i ir spindulys 4, o kito centras yra 8 ir spindulys 5. Dabar lengva pastebėti, kad vienas sprendinys yra 4 + 3i (kas nėra nuostabu, nes kai sąlygoje duotos kvadratinės lygtys su 4² ir 5², beveik visada reiks panaudot 3² = 5² - 4² kurioje nors vietoje :) ). Pažymėkime šį sprendinį w ir ieškokime antrojo susikirtimo taško z. Geometriškai z yra w atspindys tiesės, einančios per taškus 3i ir 8, atžvilgiu, taigi

(z - 3i) / (8 - 3i) = ( (w - 3i) / (8 - 3i) )*,

kur a* yra kompleksinio skaičiaus a "complex conjugate", t.y. jei a = u + iv, tai a* = u - iv.

Pertvarkę gauname

z = 4 / (8 + 3i) * (8 - 3i) + 3i
  = 4 * (8 - 3i)² / (8² + 3²) + 3i
  = (256 - 192i - 36) / 73 + 3i
  = (220 - 192i + 219i) / 73
  = 220/73 + 27/73 i.

Taigi yra du sprendiniai: (x, y) = (4, 3) ir (x, y) = (220/73, 27/73).


Galime spręsti ir nenaudodami kompleksinės geometrijos. Vėl naudosime pastebėjimą, kad (x, y) = (4, 3) yra sprendinys (tai galima pastebėti paprasčiausiai bandant skaičius, arba - geriau - pamačius, kad tos kvadratinės lygtys iš tikro yra apskritimų lygtys ir nusibraižius brėžinį). Galime spręsti ir be šio pastebėjimo, bet tokiu atveju reiktų atlikti daugiau žingsnių.

Turime lygtis

x² + y² - 6x + 9 = 16
x² + y² - 16y + 64 = 25.

Atėmę antrą lygtį iš pirmos gauname

16y - 6x = 16 - 25 + 64 - 9 = 46,

taigi y = 8x/3 - 23/3. Įstatome tai į x² + (y - 3)² = 16:

x² + (8x/3 - 23/3 - 3)² = 16
x² + (8x/3 - 32/3)² = 16
(64/9 + 1)x² - 512x/9 + 1024/9 = 16
73x² - 512x + 880 = 0.

Pagal Vijeto teoremą, šios lygties sprendinių suma yra 512/73. Bet mes žinome, kad x = 4 yra vienas iš sprendinių, todėl antrasis bus x = 512/73 - 4 = 220/73 (jei nežinotume, kad 4 yra sprendinys, galėtume tiesiog išspręsti šią kvadratinę lygtį ir gauti abu sprendinius). Atitinkamas y yra y = 8x/3 - 23/3 = (8*220 - 23*73)/(73*3) = 81 / (73*3) = 27/73. Dar reiktų patikrinti, ar (x, y) = (220/73, 27/73) tikrai tenkina pradines lygtis. Tai patikrinę žinome, kad sprendiniai yra (x, y) = (4, 3) ir (x, y) = (220/73, 27/73).



Tiesą sakant, sprendžiant antruoju būdu nereikia tikrinti, ar (220/73, 27/73) yra sprendinys. Tai privalo būti sprendinys pagal tai, kaip mes jį radome.