skaciu .teorijos .uzdaviniai...

Gal galit parasyti kaip issprest siuos uzdavinius?

1. Ar egzistuoja toks n, kad galiotų lygybė n!=20120...0, kur daugtaškį sudaro vieni nuliai?

2. Įrodykite, kad 17|2x+3y tada ir tik tada, jei  17|9x+5y.

3. irodykite, kad visiems natūraliems n, galioja 6|n^3+5n.

isanksto dekui.

1.
[tex]n!=2012\underbrace{00\ldots 0}\limits_{n}=2^{2+n}\cdot5^n\cdot503[/tex]. Aišku, kad turėtų būti [tex]n!=2012\underbrace{00\ldots 0}\limits_{n}>3![/tex], todėl užtenka pastebėti, kad skaidinyje [tex]2^{2+n}\cdot5^n\cdot503[/tex] nera daugiklio 3 ir dėl to nėra tokio skaičiaus, kuris tenkintų uždavinio sąlygą.

2.
Pastebėk, kad [tex]2x+3y=4(9x+5y)-17(2x+y)[/tex] ir [tex]9x+5y=13(2x+3y)-17(x+2y)[/tex].
(Jei nori labiau įsigilinti į sąlygą, paskaityk, ką reiškia teiginys „tada ir tik tada“ http://lt.wikipedia.org/wiki/Tada_ir_tik_tada_(teiginys) ).

3.  Aišku, kad dalindami iš 6 galim gauti šešias skirtingas liekanas.
[tex]n\equiv 0 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv 0 (mod 6)\\n\equiv 1 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv6\equiv 0 (mod 6)\\n\equiv 2 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv18\equiv 0 (mod 6)\\[/tex]
[tex]n\equiv 3 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv42\equiv 0 (mod 6)\\n\equiv 4 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv84\equiv 0 (mod 6)\\n\equiv 5 (mod 6) \Rightarrow n^3+5n\equiv150\equiv 0 (mod 6)\\[/tex]