eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Skaičių sekos riba. Kas tai?

Turbūt visi žinome, kas yra skaičių seka. Dar mokykloje susidūrėme su dviejų tipų sekomis, kurios vadinamos aritmetine ir geometrine progresijomis. Bendru atveju skaičių seką suprantame kaip funkciją, kurios argumentas yra apibrėžtas natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, jei turime funkciją [tex]f(x)=x^2[/tex], kur [tex]x∈\mathbb{R}[/tex], tai vietoje argumento leidę imti tik natūralias reikšmes gautume seką: [tex]a_n=f(n)=n^2[/tex], kur [tex]n∈\mathbb{N}[/tex].

Prisiminę, ką vadiname skaičių seka, panagrinėkime tokias dvi sekas: [tex]a_n=n^2,\space n∈\mathbb{N}[/tex] ir [tex]b_n=\dfrac{n}{n-1},\space n∈\mathbb{N}, n>1[/tex].
Jeigu išrašytume keletą pirmųjų abiejų sekos narių gautume:
[tex]a_n:\space 1,\space 4,\space 9,\space 16,\space 25,\space 36,...[/tex]
[tex]b_n:\space 2,\space \dfrac{3}{2},\dfrac{4}{3},\space \dfrac{5}{4},\space \dfrac{6}{5},\space \dfrac{7}{6},...[/tex]
Ką galime pasakyti apie šių abiejų sekų narius?
Pirmosios sekos atveju labiau nei akivaizdu, jog seka yra neapibrėžtai didėjanti, t.y. su kiekvienu nariu sekos reikšmė artėja prie begalybės. O kaip yra antruoju atveju?
Čia pasinaudodami skaičiuotuvu pastebėtume, jog kiekvienas sekos narys yra vis arčiau 1. Tačiau ar tai įrodo, jog imdami vis tolesnį sekos narį, gausime vis arčiau ir arčiau prie 1 artėjančią jo reikšmę? Ko gero, kad ne, todėl norėdami tai įrodyti pasitelkime aritmetiką ir pertvarkykime sekos formulės išraišką:
[tex]b_n=\dfrac{n}{n-1}=\dfrac{n-1+1}{n-1}=\dfrac{n-1}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}=1+\dfrac{1}{n-1}[/tex].
[tex]f(n)=\dfrac{1}{n-1}[/tex] yra mums gerai pažįstamos atvirkštinio proporcingumo funkcijos [tex]y=\dfrac{1}{n}[/tex] transformacija išilgai [tex]Ox[/tex] ašies. Tai reiškia, jog funkcija [tex]f(n)=\dfrac{1}{n-1}[/tex] yra mažėjanti, kai [tex]n>0[/tex] ir jos reikšmės artėja prie 0.
Tokiu atveju akivaizdu, jog jei sumos [tex]1+\dfrac{1}{n-1}[/tex] dėmuo [tex]\dfrac{1}{n-1}[/tex] artėja prie 0, tai pati suma artėja prie 1.
Įsitikinome, kad sekos [tex]b_n[/tex] nariai artėja prie 1, kai [tex]n[/tex] artėja į begalybę.

Taigi abiem atvejais išnagrinėjome, kaip keičiasi sekos narių reikšmės didėjant [tex]n[/tex] reikšmei. Dabar mes galime pateikti intuityvumu paremtą sekos ribos apibrėžimą:

Jei egzistuoja realusis skaičius [tex]A[/tex], prie kurio artėja sekos [tex]x_n[/tex] nariai, kai [tex]n[/tex] artėja į begalybę, tai tą skaičių vadinsime sekos riba.
Tačiau matematikoje mes turime būti griežti, todėl pateikiame kitą sekos ribos apibrėžimą, kuris tiksliai apibrėžia kas tai yra:
Skaičius [tex]A[/tex] vadinamas skaičius sekos [tex]x_n[/tex] riba, jei kiekvieną teigiamąjį skaičių [tex]\epsilon[/tex] atitinka natūralusis skaičius [tex]N[/tex], kad su visais [tex]n>N[/tex] teisinga nelygybė [tex]|x_n-A|<\varepsilon[/tex].
Atrodytų, jog du turimi sekos ribos apibrėžimai skiriasi kaip diena ir naktis, ir sunku suvokti, jog čia kalbama apie vieną ir tą patį dalyką. Pamėginkime "išversti" antrąjį apibrėžimą į mums suprantamą kalbą:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pirmiausiai reiškinį [tex]|x_n-A|<\varepsilon[/tex] pertvarkykime taip:
[tex]|x_n-A|<\varepsilon\implies -\varepsilon<x_n-A<\varepsilon\implies A-\varepsilon<x_n<A+\varepsilon[/tex].
Intervalą [tex](A-\varepsilon;A+\varepsilon)[/tex] vadinsime skaičiaus [tex]A[/tex] aplinka. Aplinkos dydis yra lygus intervalo [tex](A-\varepsilon;A+\varepsilon)[/tex] ilgiui, jį randame taip:
[tex](A+\varepsilon)-(A-\varepsilon)=2\varepsilon[/tex]. Taigi skaičiaus [tex]A[/tex] aplinkos dydis priklauso nuo pasirinktos [tex]\varepsilon>0[/tex] reikšmės.
Jei sekos nariui [tex]x_n[/tex] galioja lygybė [tex]A-\varepsilon<x_n<A+\varepsilon[/tex], tai reiškia, jog jis priklauso taško [tex]A[/tex] aplinkai.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dabar ir "išversime" antrąjį apibrėžimą:
Skaičius A bus sekos [tex]x_n[/tex] riba, jei nesvarbu kokį parinksime teigiamą dydį [tex]\varepsilon[/tex] (t.y. kokį parinksime skaičiaus A aplinkos dydį) rasime tokį sekos eilės numerį [tex]n=N[/tex], jog visų sekos sekos narių, kurių eilės numeris didesnis už [tex]N[/tex], reikšmės pateks į iš anksto nustatytą taško [tex]A[/tex] aplinką.
Šiame apibrėžime yra viena svarbi mintis, jog nebūtina, kad visi sekos nariai patektų į nustatytą aplinką, tačiau būtina, jog į ją patektų tie sekos nariai, kurių eilės numeris didesnis už [tex]N[/tex], kur pastarojo reikšmė tiesiogiai priklauso nuo pasirinkto [tex]\varepsilon[/tex].

Nors antrasis apibrėžimas pasidarė kiek aiškesnis, tačiau ko gero atrodo, jog jis vis dar pakankamai daug skiriasi nuo pačio pirmojo pateikto intuityvaus skaičių sekos ribos apibrėžimo. Tam, kad sudėtume visus taškus ant i, pasitelkime apibrėžimo geometrinę interpretaciją:

https://www.ematematikas.lt/upload/images/1505477765_2093.png
Šiame paveiksliuke matome geometrinį įrodymą, jog sekos, kurios narių reikšmės vaizduojamos taškais, riba yra lygi skaičiui [tex]A[/tex] (laikome, jog toliau dešinėje nematomi taškai renkasi prie raudonos tiesės). Pasirinkę kiek norimą mažą teigiamą dydį [tex]\varepsilon[/tex], mes žaliomis linijomis apribojome taško [tex]A[/tex] aplinką. Toliau radome tokią [tex]N[/tex] reikšmę, jog visi sekos nariai, kurių eilės numeris didesnis už [tex]N[/tex] patektų į šią aplinką. Žinoma vėliau turėtume imti kitą [tex]\varepsilon[/tex] reikšmę (logiška, jog mažesnę) ir vėl tikrinti, ar galime rasti tokią [tex]N[/tex] reikšmę, jog visi sekos nariai, turintys eilės numerį didesnį už [tex]N[/tex], patektų į naują aplinką.
Šis paveiksliukas įprasmina taip pat ir pirmąjį sekos ribos apibrėžimą, todėl galime sakyti, jog juo susiejome pirmąjį ir antrąjį apibrėžimus.
Žinoma grafiškai sekos ribos neįrodinėjamos, tačiau kaip matyti tai nebloga priemonė naujos sąvokos suvokimui. O dabar pamėginkime įrodyti, jog ta pati paveikslėlyje pavaizduota sekos riba nelygi tarkime skaičiui [tex]B[/tex]:
https://www.ematematikas.lt/upload/images/1505478909_2093.png
Kaip matome pasirinkome laisvai taško [tex]B[/tex] aplinką, tačiau kaip matome į ją nepatenka nė vienas sekos narys. Kadangi [tex]B[/tex] būtų sekos riba tik tuomet, jei su bet kuriuo [tex]\varepsilon[/tex] rastume tokį [tex]N[/tex] su kuriuo visi nariai, kurių [tex]n>N[/tex] patektų į nustatytą aplinką, o mes radome tokį [tex]\varepsilon[/tex] su kuriuo taip nėra, tai [tex]B[/tex] nėra sekos riba.
Tikiuosi šie pavyzdžiai padėjo suprasti, ką vadiname sekos riba.
Beliko tik paminėti kaip matematiškai užrašysime teiginį: [tex]A[/tex] yra sekos [tex]x_n[/tex] riba:
Jei [tex]A[/tex] yra sekos [tex]x_n[/tex] riba, tai rašome [tex]\lim\limits_{n \to \infty}x_n=A[/tex]
Pagal ribas skaičių sekas galima suskirstyti į konverguojančiąsias ir diverguojančiąsias.
Seką vadinsime konverguojančiąja, jei jos seka yra tam tikras realusis skaičius
Seką vadinsime diverguojančiąja, jei jos riba lygi begalybei arba ta riba neegzistuoja
Akivaizdu, jog seka [tex]a_n=n^2[/tex] diverguoja, o [tex]b_n=\dfrac{n}{n-1}[/tex] konverguoja.
Neegzistuojančios ribos pavyzdys galėtų būti toks: [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\sin n[/tex]. Riba neegzistuoja, nes funkcijos [tex]a_n=\sin n[/tex] reikšmės svyruoja tarp -1 ir 1, taigi funkcija neartėja nei prie begalybės nei prie kokio nors konkretaus skaičiaus.
Toliau taikydami sekos ribos apibrėžimą, mes įrodysime keletą ribų.

1 pavyzdys:
Įrodykime, kad [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2n-3}{3n+5}=\dfrac{2}{3}[/tex].
Įrodymas:
Taikome antrąjį apibrėžimą:
Pasirenkame bet kokį [tex]\varepsilon>0[/tex] reikalaujame, jog būtų teisinga sąlyga:
[tex]|x_n-A|<\varepsilon[/tex], t.y. [tex]\bigg|\dfrac{2n-3}{3n+5}-\dfrac{2}{3}\bigg|<\varepsilon[/tex]. Pertvarkome šią nelygybę:
$$\bigg|\dfrac{2n-3}{3n+5}-\dfrac{2}{3}\bigg|<\varepsilon\iff \bigg|\dfrac{3(2n-3)-2(3n+5)}{3(3n+5)}\bigg|<\varepsilon\iff\\ \bigg|\dfrac{6n-9-6n-10}{3(3n+5)}\bigg|<\varepsilon\iff \bigg|\dfrac{-19}{3(3n+5)}\bigg|<\varepsilon$$
Kadangi, kai [tex]n∈N[/tex], tai [tex]3n+5>0[/tex], tada galime užrašyti, kad:
[tex]\bigg|\dfrac{-19}{3(3n+5)}\bigg|=\dfrac{19}{3(3n+5)}[/tex]. Gauname, kad: [tex]\dfrac{19}{3(3n+5)}<\varepsilon[/tex]. Iš čia: [tex]n>\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}[/tex]. Pasirinktinai nuo [tex]\varepsilon[/tex] reikšmės reiškinys [tex]\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}[/tex] gali būti nebūtinai sveikas skaičius, todėl naudojame skliaustus[tex][\space ][/tex], tada [tex]\bigg[\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}\bigg][/tex] yra lygus skaičiaus [tex]\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}[/tex] sveikajai daliai. Tuomet galime užrašyti, kad [tex]N=\bigg[\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}\bigg][/tex].
Taigi pagal sekos apibrėžimą gauname, kad:
Su bet kuriuo teigiamu dydžiu [tex]\varepsilon[/tex] pagal formulę [tex]N=\bigg[\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}\bigg][/tex] galime rasti tokią [tex]N[/tex] reikšmę, jog su visais [tex]n>N[/tex] bus teisinga nelygybė [tex]|\dfrac{2n-3}{3n+5}-\dfrac{2}{3}|<\varepsilon[/tex], o tai reiškia, kad [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2n-3}{3n+5}=\dfrac{2}{3}[/tex]. Įrodyta!

2 pavyzdys:
Įrodykime, kad [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{5n+3}{9n-4}≠\dfrac{4}{9}[/tex].
Įrodymas:
Pastebime, jog dabar turėsime įrodyti, kad skaičius [tex]\dfrac{4}{9}[/tex] nėra sekos [tex]x_n=\dfrac{5n+3}{9n-4}[/tex] riba. Vadinasi turime rasti tokį [tex]\varepsilon>0[/tex] su kuriuo negalėtume rasti [tex]N[/tex], jog su visais [tex]n>N[/tex] būtų teisinga nelygybė [tex]\bigg|\dfrac{5n+3}{9n-4}-\dfrac{4}{9}\bigg|<\varepsilon[/tex].
Pertvarkome nelygybės kairiąją pusę:
$$\bigg|\dfrac{5n+3}{9n-4}-\dfrac{4}{9}\bigg|=\bigg|\dfrac{9(5n+3)-4(9n-4)}{9(9n-4)}\bigg|=\bigg|\dfrac{45n+27-36n+16}{9(9n-4)}\bigg|=\\\bigg|\dfrac{9n+43}{9(9n-4)}\bigg|=\dfrac{1}{9}\bigg|\dfrac{9n+43}{9n-4}\bigg|=\dfrac{1}{9}\bigg|\dfrac{9n-4+47}{9n-4}\bigg|=\\=\dfrac{1}{9}\bigg|1+\dfrac{47}{9n-4}\bigg|.$$ Kadangi, kai [tex]n∈\mathbb{N}[/tex], tai [tex]9n-4>0[/tex], tai [tex]\dfrac{47}{9n-4}>0[/tex] , o [tex]1+\dfrac{47}{9n-4}>1[/tex], taigi: [tex]\bigg|\dfrac{5n+3}{9n-4}-\dfrac{4}{9}\bigg|=\dfrac{1}{9}\bigg|1+\dfrac{47}{9n-4}\bigg|>\dfrac{1}{9}[/tex].
Gavome, jog su visais [tex]n∈\mathbb{N}[/tex], [tex]\bigg|\dfrac{5n+3}{9n-4}-\dfrac{4}{9}\bigg|>\dfrac{1}{9}[/tex]. O tai reiškia, kad parinkę [tex]\varepsilon ≤\dfrac{1}{9}[/tex] mes nerastume [tex]N[/tex]. Taigi [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{5n+3}{9n-4}≠\dfrac{4}{9}[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-10-30

1

sveiki, noriu paklausti iš kur atsiranda pirmajame pavyzdyje 5/3?

0

Turbūt kalbi apie perėjimą nuo [tex]\dfrac{19}{3(3n+5)}<\varepsilon[/tex] prie [tex]n>\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}[/tex], tai vat kaip viskas gaunama: $$\dfrac{19}{3(3n+5)}<\varepsilon|\cdot 3(3n+5)>0\implies 19<3\varepsilon(3n+5)\implies 19<9\varepsilon n+15\varepsilon\implies \\19-15\varepsilon<9\varepsilon n|:9\varepsilon>0\implies \dfrac{19-15\varepsilon}{9\varepsilon}<n\implies n>\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{15\varepsilon}{9\varepsilon}\implies\\n>\dfrac{19}{9\varepsilon}-\dfrac{5}{3}$$

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-31

1

Ačiū labai!!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!