ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Skaičių teorija, kvadratinės formos

Olimpiados Peržiūrų skaičius (3969)

Nagrinėkime lygtį x² - 3xy + y² = c (*), kur c yra žinomas natūrinis skaičius.

a. Įrodykite, kad jei c = 7, tai lygtis (*) neturi sveikųjų sprendinių.
b. Įrodykite, kad jei su kažkuriuo c lygtis (*) turi sveikųjų sprendinių, tai kažkuris iš tų sprendinių (x, y) tenkina y² ≤ 2c.

Pastaba: iš tikro b. dalyje galima įrodyti, kad y² ≤ c/2 (ar net dar stipriau).

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-05-07

0

a. [tex]x^{2}-3xy+y^{2}=7\Rightarrow x^{2}-3xy+y^{2}-7=0[/tex]. Spręskime kvadratinę lygtį x atžvilgiu. [tex]D=9y^{2}-4y^{2}+28=5y^{2}+28[/tex].
Aišku, kad lygtis turės sveikų sprendinių, kai diskriminantas bus sveiko skaičiaus kvadratas. Nagrinėkim, kokias liekanas galime gauti, dalindami sveiko skaičiaus kvadratus iš 5:
[tex]a\equiv0(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv0(mod5)\\a\equiv1(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv1(mod5)\\a\equi2(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv4(mod5)\\ a\equiv3(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv4(mod5)[/tex]
[tex]a\equiv4(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv1(mod5)[/tex].
Tačiau
[tex]D=5y^{2}+28\equiv 3(mod 5)[/tex],
taigi diskriminantas nėra sveikojo skaičiaus kvadratas. Lygtis sprendinių neturi.

b. Bendru atveju šios lygties diskriminanto formulė
[tex]D=5y^{2}+4c[/tex].
Aišku, kad [tex]D>0[/tex], nes [tex]y^{2}\geq0,c\in\mathbb{N}[/tex].
Kaip buvo minėta, diskriminantas turi būti sveiko skaičiaus kvadratas:
[tex]5y^{2}+4c=a^{2}[/tex],  [tex]a\in\mathbb{Z}[/tex].
Galima nesunkiai rasti vieną šios lygties sprendinį:
[tex]5\cdot 1^{2}+4\cdot1=3^{2}[/tex].
Abi šios lygybės puses dauginam iš k²:
[tex]5k^{2}+4k^{2}=(3k)^{2}[/tex].
Taigi [tex](a;c;y)=(3k;k^{2};k)[/tex].
Be to, k yra sveikas, bet negali būti lygus nuliui, nes [tex]k^{2}=c\in\mathbb{N}[/tex].
Dabar aišku, kad [tex]y^{2}\leq 2c[/tex], nes [tex]k^{2}\leq2k^{2}[/tex].
Pradinė lygtis yra simetrinė - nežinomieji x ir y gali keistis vietomis.

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-05-05

0

lukasma. [tex]x^{2}-3xy+y^{2}=7\Rightarrow x^{2}-3xy+y^{2}-7=0[/tex]. Spręskime kvadratinę lygtį x atžvilgiu. [tex]D=9y^{2}-4y^{2}+28=5y^{2}+28[/tex].
Aišku, kad lygtis turės sveikų sprendinių, kai diskriminantas bus sveiko skaičiaus kvadratas. Nagrinėkim, kokias liekanas galime gauti, dalindami sveiko skaičiaus kvadratus iš 5:
[tex]a\equiv0(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv0(mod5)\\a\equiv1(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv1(mod5)\\a\equi2(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv4(mod5)\\ a\equiv3(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv4(mod5)[/tex]
[tex]a\equiv4(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv1(mod5)[/tex].
Tačiau
[tex]D=5y^{2}+28\equiv 3(mod 5)[/tex],
taigi diskriminantas nėra sveikojo skaičiaus kvadratas. Lygtis sprendinių neturi.

b. Bendru atveju šios lygties diskriminanto formulė
[tex]D=5y^{2}+4c[/tex].
Aišku, kad [tex]D>0[/tex], nes [tex]y^{2}\geq0,c\in\mathbb{N}[/tex].
Kaip buvo minėta, diskriminantas turi būti sveiko skaičiaus kvadratas:
[tex]5y^{2}+4c=a^{2}[/tex],  [tex]a\in\mathbb{Z}[/tex].
Galima nesunkiai rasti vieną šios lygties sprendinį:
[tex]5\cdot 1^{2}+4\cdot1=3^{2}[/tex].
Abi šios lygybės puses dauginam iš k²:
[tex]5k^{2}+4k^{2}=(3k)^{2}[/tex].
Taigi [tex](a;c;y)=(3k;k^{2};k)[/tex].
Be to, k yra sveikas, bet negali būti lygus nuliui, nes [tex]k^{2}=c\in\mathbb{N}[/tex].
Dabar aišku, kad [tex]y^{2}\leq 2c[/tex], nes [tex]k^{2}\leq2k^{2}[/tex].
Pradinė lygtis yra simetrinė - nežinomieji x ir y gali keistis vietomis.


a. dalies sprendimas šaunus.

Tačiau b. dalies sprendimas nėra teisingas: tu parodai, kad yra tokie c, su kuriais yra sprendinys, tenkinantis y² ≤ 2c. Reikia įrodyti, kad su visais c, su kuriais yra bent vienas sprendinys, yra bent vienas sprendinys, tenkinantis tą nelygybę.

Pvz., jei c = 5, tai yra sprendinys (x, y) = (4, 11). Reikia įrodyti, kad kažkoks sprendinys tenkina y² ≤ 2*10 = 20. Tokių sprendinių iš tikro yra, pvz., (11, 4) arba (4, 1).

0

Pateiksiu uždavinio sprendimą. Galbūt kam nors bus įdomus.

a. dalį išsprendė lukasm.

lukasma. [tex]x^{2}-3xy+y^{2}=7\Rightarrow x^{2}-3xy+y^{2}-7=0[/tex]. Spręskime kvadratinę lygtį x atžvilgiu. [tex]D=9y^{2}-4y^{2}+28=5y^{2}+28[/tex].
Aišku, kad lygtis turės sveikų sprendinių, kai diskriminantas bus sveiko skaičiaus kvadratas. Nagrinėkim, kokias liekanas galime gauti, dalindami sveiko skaičiaus kvadratus iš 5:
[tex]a\equiv 0(mod 5)\Rightarrow a^{2}\equiv 0(mod 5)\\a\equiv 1(mod5)\Rightarrow a^{2}\equiv 1(mod 5)\\a\equiv 2(mod 5)\Rightarrow a^{2}\equiv 4(mod 5)\\ a\equiv 3(mod 5)\Rightarrow a^{2}\equiv 4(mod 5)[/tex]
[tex]a\equiv 4(mod 5)\Rightarrow a^{2}\equiv1(mod 5)[/tex].
Tačiau
[tex]D=5y^{2}+28\equiv 3(mod 5)[/tex],
taigi diskriminantas nėra sveikojo skaičiaus kvadratas. Lygtis sprendinių neturi.


b. Tarkime, kad lygtis x² - 3xy + y² - c = 0 turi sprendinį (c - natūrinis skaičius). Tuomet kažkoks sprendinys (x, y) = (u, v) pasiekia minimalią y² reikšmę (t.y. visi sprendiniai (x, y) tenkina y² ≥ v²). Kadangi (v, u) taip pat yra sprendinys, u² ≥ v².

Nagrinėkime x² - 3xv + v² - c = 0 kaip kvadratinę lygtį su vienu parametru x. Žinome, kad x = u yra sprendinys. Iš Vijeto formulės žinome, kad yra ir antras sprendinys (nebūtinai sveikas) x = t, kuris tenkina

t + u = 3v  (1),
tu = v² - c  (2).

(1) pasako, kad t visgi yra sveikasis skaičius. (2) pasako, kad

t²u² = (v² - c)².

Jei t² < v², turime sprendinį (x, y) = (v, t), kuris prieštarauja v pasirinkimui. Todėl t² ≥ v². Tačiau kartu su u² ≥ v² tai pasako

v^4 ≤ t²u² = (v² - c)².

Kadangi v² - c < v², privalo galioti v² - c ≤ -v², t.y. v² ≤ c/2. Tai dar stipriau nei reikia įrodyti (pakaktų įrodyti, kad v² ≤ 2c; blogai užrašiau sąlygą).

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-05-07

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!