skaiciu teorija,keletas uzdavinuku

diablo333dar radau viena uzdavini,kurio iki galo nesuprantu.

3. Benas pasirinko 5 skaičius iš aibės {1,2,3,4,5,6,7}. Jeigu jis pasakytų Edvardui šių skaičių sandaugą, jam neužtektų informacijos pasakyti, ar Beno pasirinktų skaičių suma yra lyginė ar nelyginė. Kokia yra Beno pasirinktų skaičių sandauga?

Sveikas,
nežinau ar tenkins toks sprendimo būdas, tačiau aš išsprendžiau šį LABAI įdomų uždavinį vadovaudamasis logika.
Papasakosiu:

Jei Edvardas negali pasakyti apie sumą - ar ji porinė ar ne. Reiškiasi:
a) Yra keli būdai gauti vienodą sandaugą su skirtingais daugikliais, antraip Edvardas išreiškęs sandaugą pirminiais dauginamaisiais gautų vienintelį būdą ir lengvai surastų daugiklius, o ir jų sumą.
b) Vienu būdu PORINIŲ daugiklių kiekis bus porinis skaičius, antru būdu - NEPORINIS.

Turiu tikslą - rasti tokią sandaugą, kad iš jos pirminių dauginamųjų būtų galima "sulipdyti" 5 aibėje paminėtus skaičius keliais būdais.
Visus aibės skaičius išskaidau pirminiais dauginamaisiais, kad kažką būtų galima pamatyti:
1)
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2*2
5 = 5
6 = 2*3
7 = 7

Matau, kad "4" ir "6" yra tie skaičiai, kurie turi būti skirtingose išraiškose, tačiau pasiekti reikės tą pačią sandaugą

Turiu:
4****
6****

2)
reikia padauginti tiek 4, tiek 6 iš kažkokių aibėje esančių skaičių, kad gauti vienodą sandaugą (4*3=12; 6*2=12)
Turiu:
43***
62***

Belieka įstatyti nepaminėtus skaičius iš aibės:
43157
62157

Vienu atveju suma porinis, kitu - neporinis skaičius, o sandauga ta pati = 420

p.s. tiesa, yra dar vienas būdas rasti tą pačią sandaugą skirtingais skaičiais 45716 ir 45723 (nes 1*6 = 2*3), tačiau bet kokiu atveju skaičių suma bus neporinis skaičius ir Edvardas nesakytų, kad jam trūksta INFO nustatyti ar suma porinė ar ne.

diablo3331. Raskite visus pirminius p tokius, kad 8p^2+1 būtų irgi pirminis skaičius. (Užuomina: kokia forma, susijusia su dalinimu iš 6, galime užrašyti visus pirminius skaičius didesnius už 3?)

2. Raskite visus pirminius p, tokius kad, p+4 ir p+14 būtų irgi pirminiai skaičiai.

Dekingas.

1. Pasinaudokim užuomina: skaičius, dalinamas iš 6, gali duoti liekanas 0, 1, 2, 3, -2, -1. Jei dalindami už 3 didesnį skaičių iš 6 gaunam liekaną 0, 2, 3, -2, tai tas skaičius atitinkamai dalijasi iš 6, iš 2, iš 3 ir vėl iš 2, dėl tos priežasties jis nėra pirminis. Taigi, pirminius skaičius galima išreikšti forma [tex]6k\pm1[/tex] ([tex]k\in\mathbb{N}[/tex]).
Tada [tex]8p^2+1=8(6k\pm1)^2+1=3(96k^2\pm32k+3)[/tex]. Taigi, kai [tex]p>3[/tex], tai [tex]8p^2+1[/tex] yra sudėtinis su visais pirminiais [tex]p[/tex]. Todėl patikrinkim du likusius atvejus:
[tex]p=2\Rightarrow 8p^2+1=33=3\cdot11\\p=3\Rightarrow 8p^2+1=73[/tex].
Taigi, vienintelis pirminis skaičius [tex]p=3[/tex].

2. Aš atsiverčiau vieną knygutę, iš kurios pats galbūt sąlygą nurašei. Ten toks pats uždavinys, tik vietoj p+4 yra p+10. Pasitikslink sąlygą.

3. Mano manymu, sprendimas turi būt griežtesnis, nors klaudidze gavo teisingą atsakymą.
Aišku, kad sandauga visada bus lyginė (duotoje aibėje yra tik keturi nelyginiai skaičiai ir dėl to bent vienas dauginamasis, paimtas iš tos aibės, bus lyginis).
Nagrinėkim 4 atskirus atvejus, kai didžiausias dvejeto laipsnis sandaugos skaidinyje pirminiais dauginamaisiais yra [tex]2^1[/tex], [tex]2^2[/tex], [tex]2^3[/tex] ir [tex]2^4[/tex].
Pirmas atvejis pasiekiamas tik tuomet, kai iš aibės paimamas vienintelis lyginis dauginamasis 2. Tuomet kiti keturi dauginamieji nelyginiai ir todėl visų penkių skaičių suma lyginė.
Antrą atvejį kol kas palikim ramybėj (vėliau pamatysim, kad būtent antru atveju negalima pasakyti lyginė ar nelyginė dauginamųjų suma).
Trečias atvejis pasiekiamas dviem būdais:
a) kai iš aibės pasirenkami du lyginiai dauginamieji 2 ir 4. Tuomet kiti trys dauginamieji nelyginiai ir todėl visų penkių skaičių suma nelyginė.
b) kai iš aibės pasirenkami du lyginiai dauginamieji 2 ir 6. Tuomet visų penkių skaičių suma vėlgi nelyginė.
Ketvirtas atvejis pasiekiamas, kai iš aibės pasirenkami visi trys lyginiai dauginamieji 2, 4 ir 6. Tuomet visų penkių skaičių suma lyginė.
Grįžkim prie antro atvejo. Jis pasiekiamas dviem būdais:
a) kai iš aibės pasirenkamas vienintelis lyginis dauginamasis 4.
b) kai iš aibės pasirenkami du lyginiai dauginamieji 2 ir 6.
Jei sandauga dali iš 9, tuomet viskas aišku: sandaugoje yra daugikliai 3, 2, 6 ir dar du nelyginiai, todėl visų penkių skaičių suma nelyginė.
Tačiau sandauga šiuo atveju būtinai yra dali iš 3. (Sakykim, ji nebūtinai dali iš trijų. Tuome iš aibės nepasirenkami skaičiai 3, 6 ir 2 (nes 6 ir 2 turi būti kartu). Bet tada išeina, kad pasirenkami daugiausiai tik 4 skaičiai. Prieštara!). Jei ji nedali iš 9, tuomet a) atveju sandaugoje tikrai nėra daugiklių 2 ir 6, todėl sandauga lygi 1×3×4×5×7=420 ir tuomet penkių dauginamųjų suma lyginė. Tačiau b) atveju sandaugoje tikrai nėra skaičių 4 ir 3, todėl sandauga lygi 1×2×5×6×7=420 ir penkių dauginamųjų suma nelyginė. Taigi, ieškoma sandauga lygi 420.