skaiciu teorijos su dalikliais

Sveiki,
vel problemos tik si kart su sunkesniais, mano manymu, uzdaviniais. Gal galit kas pagelbet? :(

1.Skaičius 27000001 turi 4 skirtingus pirminius daliklius. Raskite juos. Užuomina: prisiminkite formules x^3+1 ir x^2-y^2.
2.Raskite sumą visų trupmenų a/b, kur DBD (a,b) =1 ir a,b yra 1000 dalikliai. Užuomina, pabandykite rasti gražią išraišką, nebandykite sudėti visų tokių trupmenų (jų yra per daug). Graži išraiška šiuo atveju yra suma dviejų skliaustų kur abiejuose skliaustuose turite po 7 narius.
3.Raskite sumą didžiausių nelyginių daliklių kiekvieno skaičiaus 2007,2008,…,4012.

3. nelyginio skaičiaus didžiausias daliklis jis pats, lyginio jo pusė, jei ši nelyginė, jei lyginė dar pusiau, jei riekia dar pusiau, kol pasieksime nelyginį skaičių. Prireiks ne daugiau kaip 11 ciklų, nes intervale yra 2048 tik 2 kartotinis.
Pabandžiau excel'iu paskaičiuoti gavosi 4.024.036, nors čia ne matematiškai, o labiau kaip programavimo uždavinį sprendžiau.

1. dėl 27.000.001 --> 7 x 43 x 331 x 271
Primečiau ilgius tai bent venas turėjo būti ne didesnis nei 2 ženklis (nes minimalūs triženkliai duoda daugiau 100x100x100x100 = 100.000.000). Tada pabandžiau iš eilės - radau 7, liko 3.857.143. Primečiau, kad labai tikėtina, jog vienas iš jų 2 ženklis (nes kubinė šaknis ~156) - pratęsiau iš eilės radau 43 - liko 89.701. Primečiau jog vienas bus daugiau, kitas mažiau už šaknį iš šio skaičiaus (~299). Pabandžiau pirminius > 300, kol tiko 331 - liko 271.
O čia šiandien WEB paieškojęs radau - įrašai skaičių, o ten išskaido jį daugikliais:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+27000001

sillkur DBD (a,b) =1

DBD Didziausias bendras daliklis

Na, o jeigu sprest 1 uzduoti, kaip buvo pasiulyta autoriaus, tai sprendimas manau butu toks:

[tex]27000001=2700000+1=300^3+1^3=(300+1)(90000-300+1)=301*89701[/tex]

[tex]301=625-324=25^2-18^2=(25-18)(25+18)=7*43[/tex]
[tex]89701=90601-900=301^2-30^2=(301-30)(301+30)=271*331[/tex]

Pariktinkim ar gauti skaiciai yra pirminiai.
[tex]\sqrt{7}\approx 2,6458[/tex]
Pirminiai skaiciai 2,6458> : 2.
[tex]7\equiv 1mod2[/tex]. 7-pirminis skaicius ( nors ir be patikrinimo visi zinom, jog jis pirminis :))
[tex]\sqrt{43}\approx 6,5574[/tex]
Pirminiai skaiciai 6,5574> : 2,3,5.
[tex]43\equiv 1mod2[/tex], [tex]43\equiv 1mod3[/tex], [tex]43\equiv 3mod5[/tex]. 43 - pirminis skaicius.
[tex]\sqrt{271}\approx 16,4621[/tex]
Pirminiai skaiciai 16,4621> : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
[tex]271\equiv 1mod2[/tex], [tex]271\equiv 1mod3[/tex], [tex]271\equiv 1mod5[/tex], [tex]271\equiv 5mod7[/tex], [tex]271\equiv 7mod11[/tex], [tex]271\equiv 11mod13[/tex]. 271 - pirminis skaicius.
[tex]\sqrt{331}\approx 18,1934[/tex]
Pirminiai skaiciai 18,1934> : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
[tex]331\equiv 1mod2[/tex], [tex]331\equiv 1mod3[/tex], [tex]331\equiv 1mod5[/tex], [tex]331\equiv 2mod7[/tex], [tex]331\equiv 1mod11[/tex][tex]331\equiv 6mod13[/tex], [tex]331\equiv 8mod17[/tex]
331 - pirminis skaicius.

Taigi, kaip jau MEDIS minejo, skaiciaus 27000001 pirminiai dalikliai yra 7, 43, 271, 331.