skaiciu teorijos uzdaviniai.matematika

1. Raskite didžiausią n, tokį kad 2^n dalintų 3^1024-1

2. Įrodykite, kad (10...01)^2+(10...01)^2 (10...02)^2+(10...02)^2 yra natūraliojo skaičiaus kvadratas, kur „...“ žymi n nulių, kur n – bet koks sveikas skaičius

3. Įrodykite, kad jeigu n≡1 (mod 2), tada n^2≡1 (mod 8).

aciu is anksto!

1. [tex]3^{1024} -1=2^3\prod\limits_{k=1}^{9}(3^{2^k}+1)[/tex].
Aišku, kad [tex]3^{2^k}+1[/tex] dalijasi iš [tex]2[/tex], kai [tex]k\in \mathbb{N}[/tex], bet [tex]3^{2^k}+1[/tex] nesidalija iš [tex]4[/tex], nes [tex]3^{2^k}+1\equiv (-1)^{2^{k}}+1\equiv 2 (\bmod {4})[/tex].
Taigi, didžiausias [tex]n[/tex], su kuriuo [tex] 3^{1024}\equiv1 (\bmod {2^n})[/tex] yra [tex]12[/tex].

2. [tex]1\underbrace{0\ldots0}\limits_{n}1^2+1\underbrace{0\ldots0}\limits_{n}1^2\cdot 1\underbrace{0\ldots0}\limits_{n}2^2+1\underbrace{0\ldots0}\limits_{n}2^2[/tex][tex]=(10^{n+1}+1)^2+(10^{n+1}+1)^2\cdot(10^{n+1}+2)+(10^{n+1}+2)^2[/tex].
Patogumo dėlei pažymėkim [tex]10^{n+1}=a[/tex]. Tada [tex](a+1)^2+((a+1)(a+2))^2+(a+2)^2=2(a^2+3a+3)-1+(a^2+3a+3 - 1)^2=[/tex][tex]2(a^2+3a+3)-1+(a^2+3a+3)^2-2(a^2+3a+3)+1=(a^2+3a+3)^2=(10^{2(n+1)}+3\cdot10^{n+1}+3)^2[/tex].

3. Jei [tex]n\equiv 1 (\bmod {2} )[/tex], tai [tex]n=2k+1[/tex] ([tex]k\in\mathbb{N}[/tex]).
Tuomet [tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1[/tex]. Aišku, kad kažkuris iš skaičių [tex]k[/tex] ir [tex]k+1[/tex] yra lyginis, todėl [tex]4k(k+1)[/tex] dalijasi iš [tex]8[/tex] ir [tex]n^2\equiv 1 (\bmod {8})[/tex].