Tomas (+4567)
Aš matyčiau klaidų sprendimuose.
1b):
Dabar tarkime, kad du žmonės greta atsisėda ne iš galo. Keliais būdais y galime taip susodinti tris žmones? Turime 28 atvejus. Kiekvienu atveju, trečiam žmogui atsisėsti dabar lieka 26 galimybės ( o ne 27), taigi y = 28*27*3!Poroje esantys žmonės gali užimti pozicijas: [tex](i;i+1)[/tex], čia [tex]i=\overline{2,28}[/tex], o kiekvienu atveju trečiasis žmogus gali užimti 26 vietas (iš 30 vietų atimame poros užimtas vietas ir dvi greta jų).
Porą sudaryti galimybių yra (atsižvelgiame į jų pozicijas poroje): [tex]3\cdot 2[/tex] būdų. Kiekviena pora gali užimti sau vietą [tex]27[/tex] būdai , o trečiasis [tex]26[/tex]. Vadinasi galimų: [tex]3\cdot 2\cdot 27\cdot 26[/tex]
Taigi viso galimų atvejų turime [tex]30\cdot 29\cdot 28-(2\cdot 27\cdot 6+6\cdot 27\cdot 26+28\cdot 6)=19656[/tex]
O šiaip aš siūlyčiau paprastesnį sprendimą, kuriuo rėmiausi ir spręsdamas kitus uždavinius:
Tarkime prie šių trijų žmonių yra dar 27 žmonės, kurių pasiskirstymas mums nesvarbus (jie mums tik priemonė palengvinti skaičiavimą). Tarkime jie sustojo į eilę.
[tex].X.X.X.\space (...) \space .X.X.[/tex]
Taškai žymi vietas, kurias gali užimti tie trys žmonės (suprantame, jog dabar tiesiog skaičiuojame galimus pasiskirstymus eilėje, todėl nesusipainiojame dėl didesnio nei 30 pozicijų skaičiuojant pozicijas pažymėtas taškais ir tas, kurias užėmė žmonės [tex]X[/tex], kadangi neužimtos vietos tiesiog "susitrauks".
Taigi taškelių yra 28, t.y. tiek pozicijų gali pasiskirstyti tie 3 žmonės ir tai jie gali padaryti būdais:
[tex]28\cdot 27\cdot 26=19656[/tex]
1c):
Eilėje nėra laisvų vietų.Taip skaičiuojant neatsižvelgiama į visus atvejus.
Tarkime, kad nelyginėse eilės vietose atsisėdo vyrai, o moerys dar neatsisėdo. Taigi vyrams atsisėsti yra 15! galimybių (kėliniai be pasikartojimų). Dabar į likusias vietas sėdasi moterys, kiekvienu vyrų atsisėdimo atveju moterys gali atsisėsti 15! būdų, taigi, kai vyrai atsisėda nelyginėje vietose, tai vyrams ir moterims yra (15!)² galimybių atsisėsti.
Dabar tariame, kad vyrai atsisėdo lyginėse vietose - situacija analogiška pradinei.
Taigi uždavinio 1c) atsakymas yra 2*(15!)².
Tarkime turi tik 4 vyrus ir 4 moteris, tada 4 vyrai nesedės greta ne tik, kai bus šie atvejai:
VMVMVMVM, MVMVMVMV, bet ir VMMVMVMV, VMVMMVMV,VMVMVMMV.
Išrašę visus šiuos atvejus būtų galima būtų pastebėti, jog kiekvienu juo vaikinai ir merginos gali pasiskirstyti [tex]4!\cdot 4![/tex] būdų, o kadangi viso tokių atvejų 5, tai viso galimybių: [tex]4!\cdot 4!\cdot 5=4!^2\cdot 5[/tex]
Bet mes čia skaičiavome imdami tik 4 vyrus ir 4 moteris, vadinasi turint daugiau vyrų ir moterų bus ir daugiau pasiskirstymo variantų, kuriuos išrašyt bus nepatogu, taigi ir čia siūlau kitą sprendimo būdą.
Tarkime visos moterys sustoja į eilę, tai jos padaryti turi [tex]15![/tex] būdų. Kaip ir b) atveju pažymėkime 16 vietų kurias gali užimti vaikinai. Tai jie padaryti gali [tex]A_{16}^{15}[/tex] būdų. Neužimta vieta tiesiog pranyksta. Tada mes viso pasiskirstymo eilėje variantų turime: [tex]15!\cdot A_{16}^{15}=15!^2\cdot 16[/tex]
1d) nebeieškosiu sprendime klaidų, tiesiog pateikiu savo sprendimą.
Dabar į eilę sustoja 15 vaikinų, tai jie gali padaryti [tex]15![/tex] būdų. Prie tų vaikinų yra 16 galimų vietų atsistoti 15 merginų. Bet dvi merginos turi būti greta. Merginų porą, kuri bus greta parinkti yra galimybių: [tex]C_{15}^2[/tex], tuomet šią merginų porą laikome vienu objektu, kuris su likusiomis merginomis sudaro 14 merginų objektų, kurie turi pasiskirstyti 16 galimų pozicijų, tai jie gali padaryti [tex]A_{16}^{14}[/tex] būdais, kadangi poroje esančios merginos gali keistis vietomis, tai viso merginų pasiskirstymo variantų: [tex]A_{16}^{14}\cdot 2[/tex].
Tada visų sėdinčiųjų pasiskirstymo variantų: [tex]15!\cdot C_{15}^2\cdot A_{16}^{14}\cdot 2=15!\cdot \dfrac{15!}{2!\cdot 13!}\cdot \dfrac{16!}{2!}\cdot 2=15!^2 \cdot 1680[/tex]