ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Stačiakampis

Aukštoji matematika Peržiūrų skaičius (4679)

Stačiakampis padalintas į mažesnius stačiakampius, kurių kraštinės lygiagrečios didžiojo kraštinėms. Mažieji stačiakampiai nepersikloja, neišlenda už didžiojo stačiakampio ribų ir uždengia jį be plyšių. Žinome, kad kiekvieno iš mažųjų stačiakampių bent vienos kraštinės ilgis yra sveikasis skaičius. Įrodykite, kad bent vienos didžiojo stačiakampio kraštinės ilgis irgi sveikasis skaičius.

Įdomu, kad čia analizės, o ne kombinatorikos uždavinys :)



Po temos užrakinimo ir atrakinimo uždavinys sunkesnis pasidarė :) Anksčiau mažųjų stačiakampių buvo baigtinis skaičius, dabar jų gali būti ir be galo daug.

Paskutinį kartą atnaujinta 2009-06-01

0

Užuomina sako, kad reiktų matanalizuoti šį uždavinį.

Pradžioj mažų stačiakampių ne daugiau kaip skaitus skaičius (kitaip jų plotų suma nekonverguotų).  Be to, integralas skaičiai adityvus (t.y. galime pakeisti integralą integralų suma).

Keliam to stačiakampio apatinį kampą į plokštumos tašką (0,0) ir integruokime f(x,y)=sin(2pi*x)*sin(2pi*y) tame stačiakampyje.  f(x,y) integralas kiekviename mažame stačiakampyje bus 0, todėl pagal adityvumą ir viso stačiakampio integralas nulis. Tarkim stačiakampio kraštinės ilgiai a ir b, tai f(x,y) integralas jame bus [sin(pi*a)*sin(pi*b)/pi]^2, o jis nulis tik kai vienas iš a arba b yra sveikas skaičius.

Įrodymas tiek begaliniu tiek baigtiniu atveju beveik identiškas.

0

Gražus sprendimas.

Galiu dar vieną gan įdomų pasiūlyt. Sakykime, ||.|| : R^n -> R yra norma ir (X_1, d_1), ..., (X_n, d_n) yra metrinės erdvės. Apibrėžkime D((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)) = || ( d_1(x_1, y_1), ... , d_n(x_n, y_n) ) ||. Ar būtinai D yra metrika aibei X_1 x X_2 x ... X_n?

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!