Duota: ΔAOB statusis(∠AOB=90) Apskritimas kurio centras taškas O kerta trikampio kraštines, o įžambinę taškuose C ir D AC=CD=DB Apskritimo spindulio ilgis 4 1) Įrodykite,kad ΔAOB lygiašonis ,2) Apskaičiuokite AB ilgį.
Tomas PRO +4543
1) Kadangi OC ir OD yra apskritimo spinduliai, tai jie lygūs, o tada trikampis OCD lygiašonis. Nubrėžkime šiam trikampiui pusiaukraštinę OE, tada CE = ED. Kai AC=CD=DB, tai: AE = EB. Žinome, jog lygiašoniui trikampiui į pagrindą nubrėžus pusiaukraštinę ji taip pat bus ir aukštinė, taigi ∠OEC = ∠OED = 90[tex]^\circ[/tex]. Trikampiai OEA ir OEB lygūs, nes: OE - bendra kraštinė, AE = EB ∠OEA = ∠OEB. Kai šie trikampiai lygūs, tai ir atitinkamos kraštinės lygios, taigi: OA = OB, vadinasi trikampis AOB - lygiašonis.
2) Nubrėžkime statmenį CF iš taško C į kraštinę OB. Tada trikampis CFB yra panašus į trikampį AOB pagal du kampus. Pažymėkime AC = CD = DB = x. Tada AB = 3x, CB = 2x. Kai trikampiai CFB ir AOB panašūs, galime užrašyti, kad (laikome, jog AO=OB): [tex]\dfrac{CF}{AO}=\dfrac{FB}{OB}=\dfrac{CB}{AB}=\dfrac{2x}{3x}=\dfrac{2}{3}\implies CF=FB=\dfrac{2}{3}AO.[/tex] [tex]OF=OB-FB=\dfrac{1}{3}AO.[/tex] Iš stataus trikampio CFB gauname, kad: [tex]OC^2=CF^2+OF^2\implies4^2=\left(\dfrac{2}{3}AO\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}AO\right)^2\implies \dfrac{5}{9}AO^2=16\implies AO^2=\dfrac{144}{5}[/tex] Iš trikampio AOB: [tex]AB^2=AO^2+OB^2=2\cdot AO^2=2\cdot \dfrac{144}{5}=\dfrac{288}{5}\implies AB=\dfrac{12\sqrt{10}}{5}.[/tex]