eMatematikas Registruotis Paieška

Sudėtingas uždavinys su vektoriais. cosA = ?

Geometrija   Peržiūrų skaičius (106)

Duota :  ΔABC.  Taškas  O  yra  atkarpos  BC  vidurio taškas  AB=10 ,  AC=7.  Vektorius  AM=(3/2)MB , vektorius  AN=(4/3)NC .  Vektoriai  MO  IR  ON  yra  statmeni  tada  cosA=      A)  3/8    B)1/2    C) √2/2    D) √3/2.   

0

Paprastumo dėlei žymėsiu: [tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex] ir [tex]\vec{b}=\vec{AC}[/tex].
Tuomet: [tex]\vec{BC}=\vec{b}-\vec{a}[/tex]
Kadangi O - atkarpos BC vidurio taškas, tai: [tex]\vec{BO}=\vec{OC}=\dfrac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})[/tex].
Kadangi: [tex]AM:MB=3:2[/tex], tai: [tex]MB:AB=2:5[/tex], taigi: [tex]\vec{MB}=\dfrac{2}{5}\vec{a}[/tex].
Kadangi: [tex]AN:NC=4:3[/tex], tai: [tex]NC:AC=3:7[/tex], taigi: [tex]\vec{NC}=\dfrac{3}{7}\vec{b}[/tex].
Iš trikampio OMB galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{MO}=\vec{MB}+\vec{BO}=\dfrac{2}{5}\vec{a}+\dfrac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=\dfrac{1}{2}\vec{b}-\dfrac{1}{10}\vec{a}[/tex]
Iš trikampio ONC galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{ON}=\vec{OC}+\vec{CN}=\vec{OC}-\vec{NC}=\dfrac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})-\dfrac{3}{7}\vec{b}=\dfrac{1}{14}\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a}[/tex]
Tuomet:
[tex]\vec{MO}\cdot \vec{ON}=(\dfrac{1}{2}\vec{b}-\dfrac{1}{10}\vec{a})\cdot (\dfrac{1}{14}\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{a})=\dfrac{1}{28}\vec{b}^2-\dfrac{1}{4}\vec{a}\cdot\vec{b}-\dfrac{1}{140}\cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{20}\vec{a}^2=\\=\dfrac{1}{28}|\vec{b}|^2-\dfrac{9}{35}\cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{20}|\vec{a}|^2[/tex]Kadangi [tex]\vec{MO}⊥\vec{ON}[/tex], tai: [tex]\vec{MO}\cdot\vec{ON}=0[/tex], taigi:
[tex]\dfrac{1}{28}|\vec{b}|^2-\dfrac{9}{35}\cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{20}|\vec{a}|^2=0[/tex]
Iš čia:
[tex]\dfrac{9}{35}\cdot \vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{28}|\vec{b}|^2+\dfrac{1}{20}|\vec{a}|^2\implies \vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{5}{36}|\vec{b}|^2+\dfrac{7}{36}|\vec{a}|^2[/tex].
Kadangi: [tex]\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})[/tex] ir [tex]∠A=\widehat{\vec{a},\vec{b}}[/tex], tai:
[tex]\cos∠A=\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\dfrac{\dfrac{5}{36}|\vec{b}|^2+\dfrac{7}{36}|\vec{a}|^2}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\dfrac{5|\vec{b}|^2+7|\vec{a}|^2}{36\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}[/tex]
Kai [tex]|\vec{a}|=10[/tex] ir [tex]|\vec{b}|=7[/tex], tai:
[tex]\cos∠A=\dfrac{5\cdot 7^2+7\cdot 10^2}{36\cdot 10\cdot 7}=\dfrac{5\cdot 49+7\cdot 100}{36\cdot 10\cdot 7}=\dfrac{945}{36\cdot 10\cdot 7}=\dfrac{3}{8}[/tex]

Atsakymas: [tex]\dfrac{3}{8}[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-04-05

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!

Kategorijos

Matematikos testai www.ematematikas.lt/testai Matematikos testai įvairių klasių moksleiviams! Spręsti testus »