Sudetingesni uzdaviniai su naturaliuju skaiciu dalumu

1. Irodykite, kad visi naturalieji skaiciai, kuriu bendras pavidalas  n^3 + 17n dalinas is 6 be liekanos

2. Irodykite, kad visi naturalieji skaiciai, kuriu bendras pavidalas n^5 - n dalijasi is 30 be liekanos.

3. Skaicius 6pqpqpq (cia septynzenklis skaicius) dalijasi is 18. Kai atimame pirma ir paskutini skaitmeni ( lieka  penkiazenklis pqpqp)  ,naujasis skaicius dalijasi is 6. Raskite p.

1. n^3 + 17n ≡ n^3 - n ≡ n(n^2 -1) ≡ (n-1)n(n+1) (mod 6)
3 iš eilės einantys sveikieji skaičiai => bus skaičius, kuris dalijasi iš 2 ir iš 3, todėl sandauga dalijasi iš 6.
Jei nesupranti to ką aš parašiau aukščiau, tai teks naudoti matematinę indukciją:
Teiginys teisingas, kai n=1 (1+17=18=6*3). Tarkim, kad teiginys teisingas, kai n=k, reikia įrodyti, kad jis teisingas kai n=k+1:
(k+1)^3+17(k+1)=k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 17k + 17 = (k^3 + 17k) + 3k^2 + 3k + 18 = (k^3 + 17k) + 3(k^2 + k + 6)
(k^3 + 17k): dalus iš 6 dėl prielaidos
3(k^2 + k + 6): čia reikęs pasamprotauti. Priešais yra 3, todėl mums būtų gerai, jei tai kas yra skliaustuose dalintųsi iš 2. Savaime aišku, kad 6 dalinasi iš dviejų, o kaip dėl (k^2 + k)? Jeigu k yra lyginis skaičius, tai gauname lyginių skaičių sumą, o tai yra lyginis skaičius, o jei k yra nelyginis (gali įsistatyti k=2m ir k=2m+1 ir įrodyti tai formaliau), tai gauname nelyginiu skaičių sumą, o tai taip pat yra lyginis skaičius, todėl galiausiai gauname, kad (k^2 + k + 6) yra lyginis skaičius, o 3(k^2 + k + 6) dalinasi iš 6.
Taigi, abu sumos nariai dalinasi iš 6, todėl ir suma dalinasi iš 6. Įrodyta.

2.  n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2 -1)(n^2+1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1) = (n-1)n(n+1)(n^2-4+5) = (n-1)n(n+1)(n^2-4) + 5(n-1)n(n+1) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)
Penki iš eilės einantys skaičiai (sandauga dalinasi iš 2, 3 ir 5) + 5*(trijų iš eilės einančių skaičių sandauga (ji dalinasi iš 2 ir 3)) => skaičius dalinasi iš 30.
O šiaip, tai čia vėl su indukcija turbūt tikisi, kad bus padaryta, tai gal ir pabandyk taip padaryti, bus naudingiau nei tokie žaidimai, kuriuos ką tik užrašiau.

3. 6pqpqpq | 18 (šis žymėjimas reiškia, kad skaičius kairėje yra dešiniojo skaičiaus kartotinis). Akivaizdu, kad q lyginis. Taip pat:
6+p+q+p+q+p+q = 6 + 3p + 3q = 9m (dalumo iš 9 savybė)
2+p+q=3m

pqpqp | 6. Iš to seka, kad p lyginis ir:
p+q+p+q+p=3p+2q=3l (dalumo iš 3 savybė)
p+(2/3)q = l => q turi dalintis iš 3
q dalinasi iš 3 ir iš 2, todėl jis dalinasi iš 6, tad q=0 arba q=6. Grįžtame prie  2+p+q=3m. Jei q=0, tai p=4, o jei q=6, tai p vis tiek 4. Tad pradinis skaičius buvo 6404040 arba 6464646, o p=4.
Galbūt čia galima buvo ir ką nors elegantiškesnio sugalvoti, bet nenorėjau per ilgai užsisėdėti ties šiuo uždaviniu. Spręsdamas šiuos uždavinius nesistengiau kiekvieno padaryto žingsnio paaiškinti, tad jei kas neaišku, klausk.

Dekui labai, viskas suprantamai paaiskinta, tik nelabai suprantu, kaip pirmam uzdaviny +17n pasiverti i -n

n^3 + 17n = n^3 - n + 18n = n(n^2 -1) +18n = (n-1)n(n+1) + 18n

Sveikas. Gali dar paaiskint del tos dalumo is 9 savybes, kodel pasizymi ir prisilygini 9m?

Na, visų pirmą parašysiu, kad visos naudotos raidės yra kažkokie sveikieji skaičiai, bet tas turbūt savaime suprantama. O dalumo iš 9 savybė paprasta, visų skaičiaus skaitmenų suma turi būti 9 kartotinis. Ten tai ir užrašiau.

Pagaliau supratau iki galo. Ziauriai aciu