Sunkesnio lygio tikimybių uždavinys su įrodymais.

Antanas ir Jonas lošia kauliukais. Jie vienas po kito mėto simetrišką kauliuką. Laimi tas kuris pirmas išridens 6 akutes. Žaidimą pradeda Antanas.

a) įrodyti kad tikimybė, jog žaidimas nesibaigs po pirmų dviejų metimų, lygi [tex]{\frac{{25}}{{36}}}[/tex]

[tex]{\frac{5}{{36}} \cdot \frac{5}{{36}} = \frac{{25}}{{36}}}[/tex]

b)Įrodykite, kad tikimybė jog Antanui teks mesti kauliųką tik k kartų, lygį: [tex]{\left( {\frac{{25}}{{36}}} \right)^k} \cdot \frac{{11}}{{25}}[/tex]

kaip?

c)Apskaičiuoti tikimybę, kad žaidimą laimės Antanas.

Kaip ?

ats.:6/11

Deja B, man nepavyko gaut tiklsiai toki pat atsakyma, bet gal tau pagelbes.
Kadangi Antanas meta pirmas ir mes tikrai K kartu, tai jie abudu tikrai neismes 6 , K-1 kartu, tokiu atveju
Deja latexo nemoku naudot:)
(5/6)^(K-1)*(5/6)^(K-1)*(1/6)
supaprastinus:
(5/6)^(2K) * (5/6)^(-2) * (1/6)=(25/36)^K * (36/25)*(1/6)= (25/36)^K * (6/25), nors tokio atsakymo negavau, bet gal tau pades:)

Radau, kaip LaTeX naudot, bet jau tingiu is  naujo rasyt:)

čia ko gero prireiks lukasm galios

a) Šiuo atveju patogu suskaičiuoti atvirkščio įvykio tikimybę, t. y. tikimybę įvykio, kad žaidimas baigsis po pirmo arba po antro metimo:
[tex]P(\overline{A})=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{11}{36}[/tex].
Tuomet įvykio, kad nesibaigs po antro metimo tikimybė [tex]P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{25}{36}[/tex].

b) Dabar mes jau galim pastebėti, kad tikimybė, jog pirmu metimu iškris šešetas yra [tex]\frac{1}{6}[/tex], jog antru metimu iškris šešetas yra [tex]\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}[/tex], jog trečiu metimu iškris šešetas yra [tex]\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^2[/tex], ... , jog [tex]n[/tex] - tuoju metimu iškris šešetas yra [tex]\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^{n-1}[/tex]. Antanas meta [tex]1[/tex], [tex]3[/tex], [tex]5[/tex], ..., [tex]2k-1[/tex] - ąjį metimą, o Jonas - [tex]2[/tex], [tex]4[/tex], [tex]6[/tex], ... , [tex]2k[/tex] - ąjį metimą. Taigi, tikimybė, kad Antano paskutinis metimas bus [tex]n=2k-1 [/tex]- tasis, yra lygi įvykio, kad šešetas iškris [tex]n[/tex] - tojo arba [tex]n+1[/tex] - ojo metimo metu, tikimybei.
Taigi [tex]P(B)=\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^{n-1}+\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^n=\frac{1}{6}(\frac{6\cdot5^{2k-1}+5\cdot5^{2k}}{6^{2k-1}})=\frac{11}{25}\cdot(\frac{25}{36})^{k}[/tex].

c) Tikimybė, kad Antanas laimės, yra lygi įvykio, kad šešetas iškris [tex]1[/tex] arba [tex]3[/tex] arba [tex]5[/tex] arba ... arba [tex]2k-1[/tex] - uojo arba ... metimu. Šio įvykio tikimybė yra lygi nykstamai mažėjančios geometrinės progresijos, kurios [tex]b_1=\frac{1}{6}[/tex] ir [tex]q=(\frac{5}{6})^2[/tex], sumai:
[tex]P(C)=\frac{b_1}{1-q}=\frac{6}{11}[/tex].

Jei kas neaišku - klausk :)

dėkui Lukai, pagarba :D bandysiu analizuoti.

beje, kaip sekėsi valstybinėje olimpiadoje ?

variable

beje, kaip sekėsi valstybinėje olimpiadoje ?

o kada įvyks ?

Tą dieną, kaip ir lietuvių k. įskaita , todėl man nebeleido važiuot :O

Tai, o kas tada dalyvaus toje olimpiadoje jeigu įskaita lietuvių kalbos? Nesamonė padaryta, turėtų perkelt.

Tikriausiai, kad bus kas dalyvaus, bet man nebeleido :D