Tikriniai vektoriai ir tiesiniai operatoriai

Gal kas moka surasti matricos tikrinius vektorius? :)

[tex] A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} [/tex]

Pasirases charakteringaja lygti randu dvi saknis.

[tex] \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & -\lambda \end{vmatrix} = 0 [/tex]

[tex](1-\lambda)\cdot (-\lambda)-(2\cdot 3) = 0[/tex]
[tex]-\lambda+\lambda^{2}-6 = 0[/tex]
[tex]\lambda^{2}-\lambda-6 = 0[/tex]
[tex]D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6) = 25[/tex]
[tex]\lambda_{1,2}=\frac{1\pm5}{2}=3 ; -2[/tex]

Irasau [tex]\lambda_{1}[/tex] i charakteringaja lygti ieskau tikrinio vektoriaus (sprendziu homogenine sistema).

[tex]\begin{cases} -2x_{1}+2x_{2}=0 \\ 3x_{1}-3x_{2}=0 \end{cases}[/tex]
[tex]x_{1}=x_{2}[/tex]
[tex]\begin{cases}{x_{1},x_{2}|x_{1},x_{2}\in{R}\end{cases}[/tex]

Parenku [tex]x_{1}=x_{2}=1[/tex] ir gaunu toki tikrini vektoriu.
[tex]\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
Patikrinu ar jis tikrinis.
[tex]A\cdot \vec{v}_{1} = \lambda_{1}\cdot \vec{v}_{1}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
= 3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}[/tex]
Lygybe tenkina, taigi [tex]\vec{v}_{1}[/tex] tikrinis vektorius.


Antro tikrinio vektoriaus ieskau istatydamas [tex]\lambda_{2}[/tex] i charakteringaja lygti.

[tex]\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}=0 \\ 3x_{1}+2x_{2}=0 \end{cases}[/tex]
[tex]x_{1}=-\frac{2}{3}x_{2}[/tex]
[tex]\begin{cases}{-\frac{2}{3}x_{2}, x_{2}|x_{2}\in{R}\end{cases}[/tex]

Parenku [tex]x_{2}=3[/tex] ir gaunu toki tikrini vektoriu.
[tex]\vec{v}_{2}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}[/tex]
Patikrinu ar jis tikrinis.
[tex]A\cdot \vec{v}_{2}=\lambda_{2}\cdot \vec{v}_{2}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}
= -2\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}[/tex]
Lygybe tenkina, taigi [tex]\vec{v}_{2}[/tex] tikrinis vektorius.

Gavosi taip, jog berasydamas klausima tuo paciu ji ir atsakiau. :D

Bet uzdavinys tuo dar nesibaigia. Is tikruju matrica [tex]A[/tex] yra duotas tiesinis atvaizdavimas ortonormuotoje bazeje  [tex]\vec{i}, \vec{j}[/tex]. Reikia rasti:
  a)  jo matrica vektorines erdves bazeje, sudarytoje is matricos [tex]A[/tex] tikriniu vektoriu,
  b)  jo matrica vektorines erdves bazeje, sudarytoje is vektoriu [tex]\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]  ir  [tex]\vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/tex]


Gal kam kyla kokiu minciu? :)

Ir šitą galima užrakinti :)