eMatematikas Prisijunk Forumas Egzaminų užduotys ONLINE testai

Trigonometrinė lygtis su dviem nežinomaisiais


1) Apskaičiuokite lygties : [tex]1+2\cos x= y^{2}+2y+4[/tex] sprendinius [tex]\left ( x;y \right )[/tex][tex];[/tex] Sprendimą [tex]argumentuokite[/tex]  2) Apskaičiuokite lygties [tex]\cos \left ( π\log _\frac{1}{2}x \right )= 1[/tex] sprendinių sumą [tex],[/tex]kai [tex]  x[/tex]∈[tex]\left ( 0;\frac{1}{2} \right )[/tex]

pakeista prieš 1 m

Ats. 1) (2πk;-1), k∈Z. 2) 1/3.

Gal galėtum savo sprendimus parodyti?

1) Apskaičiuokite lygties : [tex]1+2\cos x=y^2+2y+4[/tex] sprendinius [tex](x;y);[/tex] Sprendimą [tex]argumentuokite[/tex]

[tex]1+2\cos x=y^2+2y+4\implies 1+2\cos x=y^2+2y+1+3\implies \\1+2\cos x=(y+1)^2+3\implies2\cos x=(y+1)^2+2\implies \cos x=\dfrac{(y+1)^2}{2}+1[/tex]
Kai [tex]x,y∈\mathbb{R}[/tex], tai: [tex]-1≤\cos x≤1,\space \dfrac{(y+1)^2}{2}+1≥1[/tex], vadinasi lygybė teisinga tada ir tik tada, kai: [tex]\begin{cases}\cos x=1\\ \dfrac{(y+1)^2}{2}+1=1 \end{cases}\implies \begin{cases}x=2\pi k,\space k∈\mathbb{Z}\\ y=-1 \end{cases}\implies (2\pi k;-1),k∈\mathbb{Z}[/tex]

2) Apskaičiuokite lygties [tex]\cos(π\log_{\frac{1}{2}}x)=1[/tex] sprendinių sumą ,kai [tex]x∈(0;\frac{1}{2})[/tex]

[tex]\cos(π\log_{\frac{1}{2}}x)=1\implies π\log_{\frac{1}{2}}x=2\pi k,\space k∈\mathbb{Z}\implies \log_{\frac{1}{2}}x=2 k,\space k∈\mathbb{Z} \implies \\x=(\frac{1}{2})^{2k}=(\frac{1}{4})^k,\space k∈\mathbb{Z}.
[/tex]
Kai [tex]x∈(0;\frac{1}{2})[/tex], tai [tex]x∈\{(\frac{1}{4})^{k}|k∈\mathbb{N}\}[/tex]
Sprendinių suma:
[tex]\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}...=\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}[/tex]

pakeista prieš 1 m

[tex]k= 1;2;3;4...[/tex] tada sprendinių suma yra [tex]S[/tex];  [tex]S= \frac{1}{4}+\left ( \frac{1}{4} ^{}\right )^{2}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{3}+........[/tex] yra nykstamoji geometrinėprogresija ; [tex]a_1= \frac{1}{4}[/tex]; [tex]q= \frac{1}{4}[/tex] ; [tex][/tex][tex]S=[/tex][tex]\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}= \frac{1}{3}[/tex]

Mano sprendimai beveik identiški kaip Jūsų sprendimas.

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »