ematematikas Registruotis Ieškoti

Trigonometrinės lygtys. Sinusas ir kosinusas

Skaičiavimai   Peržiūrų skaičius (45)

Sveiki, gal galite padėti išspręsti šį uždavinį?

Rasti sprendinius, priklausančius intervalui [0;180]
Lygtis: sin(π-3x)+cos(5x - π/2) =sin 4x

Būčiau labai dėkingas, jeigu galėtumėte pagelbėti.

0

sin(π-3x)+cos(5x-π/2)=sin3x+cos(π/2-5x)=sin3x+sin5x=2sin4x×cosx=sin4x  sin4x(2cosx-1)=0  sin4x=0    4x=πn  x=πn/4 n∈Z  2cosx=1    cosx=1/2  x=±π/3+2πk  k∈Z

1

Taikome redukciją:
[tex]\sin(\pi-3x)=\sin 3x,\space \cos(5x-\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}-5x)=\sin 5x[/tex]
Gauname lygtį:
[tex]\sin 5x+\sin 3x=\sin 4x[/tex]
Taikome formulę: [tex]\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}[/tex]
[tex]2\sin\dfrac{5x+3x}{2}\cos\dfrac{5x-3x}{2}=\sin4x\\ 2\sin 4x\cos x=\sin4x\\2\sin 4x\cos x-\sin 4x=0\\\sin 4x(2\cos x-1)=0[/tex]
[tex]\sin4x=0\hspace{2cm}  2\cos x-1=0\\\ 4x=\pi k, k∈\mathbb{Z}\hspace{0.9cm}2\cos x=1\\\ x=\dfrac{\pi k}{4}, k∈\mathbb{Z}\hspace{0.9cm} \cos x=\dfrac{1}{2}\\\hspace{4cm} x=±\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, k∈\mathbb{Z}[/tex]
Atrenkame sprendinius priklausančius intervalui: [tex][0;\pi][/tex]
[tex]x=0,\space x=\dfrac{\pi}{4},\space x=\dfrac{\pi}{3},\space x=\dfrac{\pi}{2},\space x=\dfrac{3\pi}{4},\space x=\pi[/tex]

1

Labai ačiū!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!