Trikampio kraštinių sandaugos apskaičiavimas

Perimetras trikampio ABC 11  Trikampio ABC  plotas (√231)/4.  Kampas C bukasis ir sinC=(√231)/16. Apskaičiuokite trikampio kraštinių ilgių sandaugos reikšmę.

21/1331

Ats: 40

Koks sprendimas?

Rasti: [tex]xyz[/tex]
Duota: [tex]x+y+z=11[/tex], [tex]S=\frac{\sqrt{231}}{11}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}xy\sin(\angle C)=\frac{\sqrt{231}}{11}\rightarrow xy=8[/tex]
Taikome kosinusų teoremą: [tex]z^2=x^2+y^2-2xy\cos\angle C[/tex], kur [tex]\cos\angle C=-\frac{5}{16}[/tex]
Truputį patvarkome ir gauname: [tex]z^2=x^2+y^2-2xy\cos\angle C=(x+y)^2-2xy-2xy\cos\angle C=(11-z)^2-11[/tex] ir gaunam, kad [tex]z=5[/tex]
Tai [tex]xyz=40[/tex]

Sprendimas:  S=1/2absinC  1/2ab(√231)/16=(√231)/4    ab=8    cosC=-5/16  c²=a²+b²+2×(5/16)ab=a²+b²+5    a+b+c=11  11-c=a+b  abi puses keliame kvadratu 121-22c+c²=a²+2ab+b²  121-22c+a²+b²+5=a²+16+b²    -22c=-110  c=5  abc=8×5=40