Raskite tokį triženklį skaičių, kurį padvigubinę gautume skaičių, lygų skaitmenų, reikalingų užrašyti visus skaičius nuo 1 iki ieškomojo skaičiaus, skaičiui.
2. dar vienas :)
Ar galime skaičius nuo 1 iki 2009 suskirstyti į kelias grupes taip, kad kiekvienoje grupėje didžiausio ir mažiausio skaičių suma būtų lygi likusių tos grupės skaičių sumai? Atsakymą pagrįskite.
AncientMariner (+411)
1. Pažymėkime ieškomą skaičių n. n triženklis, todėl reikia 9 + 90 * 2 + (n - 99) * 3 skaitmenų užrašyti visiems natūriniams skaičiams nuo 1 iki n (yra 9 vienženkliai, 99 - 9 = 90 dviženklių ir n - 99 triženklių skaičių nuo 1 iki n). Taigi turime lygtį 9 + 2*90 + 3*(n - 99) = 2*n, 3*n - 108 = 2*n, n = 108.
2. Tarkime, kad galime. Nagrinėkime bet kurią grupę. Sudėkime visus jos skaičius. Gausime (didžiausias skaičius + mažiausias skaičius) + likę skaičiai = 2 * (didžiausias skaičius + mažiausias skaičius), todėl bet kurios grupės skaičių suma yra lyginė. Kiekvienas iš skaičių nuo 1 iki 2009 priklauso lygiai vienai grupei, todėl jų suma turi būti lygi visų grupių sumų sumai. Tačiau visų grupių sumų suma yra lyginė (nes bet kurios grupės suma lyginė), o 1 + 2 + ... + 2009 = 2010 * 2009 / 2 = 1005 * 2009 yra nelyginis skaičius. Prieštara. Taigi šių skaičių negalime suskaidyti į tokia grupes.