Pilnas egzaminas:
Duotas laikas: 4h
Galima surinkti 115 taškų
I dalis
1. Kvadrato ABCD kraštinės ilgis yra 4m, kvadrate įbrėžtas lygiagretainis HEFG (paveiksliukas). AH=CF=x m, BE=DG=2x m, 0<x<2.
a) Įrodykite, kad lygiagretainio plotas apskaičiuojamas pagal funkciją [tex]T(x)=4x^{2}-12x+16[/tex] (4t)
b) Raskite su kuria x reikšme lygiagretainio plotas mažiausias (4t)
c) Apskaičiuokite lygiagretainio kampų dydžius, jeigu [tex]x=1.25[/tex] (1 skaičiaus po kablelio tikslumu) (6t)

2.
a) Ketvirtas geometrinės progresijos narys yra 12, o devintas 384. Raskite pirmų šešių sekos narių aritmetinį vidurkį bei https://en.wikipedia.org/wiki/Average_absolute_deviation(nežinau kaip lietuviškai taisyklingai pasakyti) nuo vidurkio. (6t)
b) Kiek yra natūraliųjų skaičių, kurių skaitmenų suma bei sandauga yra lygi 12? (7t)
3. Išspręskite lygtis:
a) [tex](\frac{1}{3})^{2x+1}+(\frac{1}{9})^{x+1}=324[/tex] (6t)
b) [tex]\sqrt{6x-24}=\sqrt{2x-7}-1[/tex] (7t)
4.
a) Apskaičiuokite trikampės piramidės, kurios visos pagrindo kraštinės yra lygios 6cm, bei kurios kraštinė su pagrindu sudaro 30 laipsnių kampą, tūrį. (6t)
b) Ant a) dalyje minėtos piramidės užrašyti skaičiai 1,2,3,4. Išridenti skaičius 1,2,3 tikimybę yra tokia pati, o išridenti 4 ji yra penkis kartus didesnė nei išridenti 1. Apskaičiuokite kokia tikimybė, kad išmetus dvi tokias piramidės išridentų skaičių suma bus 6. (5t)
II dalis
Vienos iš šioje dalyje pateiktų užduočių mokiniai gali nedaryti
5. Iš paveikslėje pavaizduoto lapo, kurio matemnys yra 33x18 cm, iškerpamas nuspalvinta figūra ir iš jos išlankstoma dežutė.
a) Apskaičiuokite dežutės tūrį, jeigu a=7 cm (3t)
b) Raskite a,b,c reikšmes, kad dežutės tūris būtu pats didžiausias (9t)
c) Pagamintoje dežutėje pasirenkami trys taškai ir juos sujungus sudaromas trikampis. Apskaičiuokite kiek tokių trikampių yra, jeigu pasirinktos viršūnės negali būti vienoje briaunoje. (4t)

6.
a) Lygiašonio trikampio kraštinių sumos vidurkis yra 10, o standartinis nuokrypis [tex]3\sqrt{2}[/tex]. Raskite trikampio kraštinių ilgius. (6t)
b) Trikampį, kurio viršūnės yra taškuose A(-6;0), B(6;0), C(0;8), kerta tiesė 3x-4y=-12. Įrodykite, kad ši tiesė dalina trikampio plotą bei perimetrą į dvi lygias dalis. (10t)
7. Beveik visa užduotis yra apie grafų teoriją, tai jos neverčiau.
8. Žaidime reikia sudėlioti žodžius ir nuo žodžių ilgio priklauso kiek taškų gausi. Jei žodžio ilgis 1, tai 0, jei 2, tai 1, o jeigu žodžio ilgis n>=3, tai taškai skaičiuojami pagal formulę [tex]\dfrac{n^2-5n+10}{2}[/tex]
a) Ar mokinys žaisdamas gali surinkti 26 taškus? (3t)
b) Įrodykite, kad kuo ilgesnis žodis, tuo daugiau taškų mokinys gaus, bei kad jis gali gauti tik sveiką taškų skaičių. (6t)
c) Įrodykite, kad jeigu m yra natūralusis skaičius, tai mokinys žaisdamas gali surinkti [tex]2+\dfrac{m(m+1)}{2}[/tex] taškų. (7t)
9.
a) Kiek yra natūraliųjų skaičių p 1000>p , kuriems p ir 42 yra tarpusavyje pirminiai skaičiai? (6t)
b) Paveiksliuke duota seka, kurios nariai skaičiuojami taip:
[tex]a_{1}=1[/tex]
[tex]a_{2}=2+4+2=8[/tex]
[tex]a_{3}=3+6+9+6+3=27[/tex]
ir t.t
Įrodykite, kad sekos narys n apskaičiuojamas pagal formulę [tex]a_{n}=n^{3}[/tex](4t)

c) Įrodykite, kad [tex]1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\dfrac{n(n+1)}{2})^{2}[/tex]
Šis egzaminas yra aukštesnio lygio, kaip Lietuvoje būtų vien iš A lygio užduočių, bet Vengrijoje yra ir kitas, daug lengvesnis, kurį ir rašo dauguma mokinių. Sprendimus įkelsių po poros dienų.