Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, cos ir sin

Sveiki, užduoties sąlyga tokia:
Užrašykite cos4φ, sin4φ  per  cosφ, sinφ.
Kaip spręsti?

Galima pasinaudoti Muavro formule
$(\cosφ + i\sinφ )^n = \cos nφ + i\sin nφ$.

Kai pvz n=2, gauname
$(\cosφ + i\sinφ )^2 = \cos 2φ + i\sin 2φ$.

Pakeliam kairę pusę kvadratu
$\cos^2φ +2i\cosφ \sinφ + i^2\sin^2φ  = \cos 2φ + i\sin 2φ$.

$\cos^2φ -\sin^2φ +2i\cosφ \sinφ  = \cos 2φ + i\sin 2φ$.

Sulyginę realiąsias ir menamąsias dalis abiejose pusėse, gauname

$\cos 2φ = \cos^2φ -\sin^2φ, \quad \sin 2φ =2\sinφ \cosφ  $.

Analogiškai galima apskaičiuoti su ketvirtu laipsniu.

AČIŪ!